3点A(2, 0), B(1, -1), C(3, 3)を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

3点A(2, 0), B(1, -1), C(3, 3)を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の方程式を $x^2 + y^2 + ax + by + c = 0$ とおく。

この円が点A(2, 0), B(1, -1), C(3, 3)を通るので、それぞれの点の座標を代入して、a, b, cに関する連立方程式を立てる。

点A(2, 0)を代入すると：

$2^2 + 0^2 + 2a + 0b + c = 0$

$4 + 2a + c = 0$

$2a + c = -4$ (1)

点B(1, -1)を代入すると：

$1^2 + (-1)^2 + a - b + c = 0$

$1 + 1 + a - b + c = 0$

$a - b + c = -2$ (2)

点C(3, 3)を代入すると：

$3^2 + 3^2 + 3a + 3b + c = 0$

$9 + 9 + 3a + 3b + c = 0$

$3a + 3b + c = -18$ (3)

(2) - (1)より：

$(a - b + c) - (2a + c) = -2 - (-4)$

$-a - b = 2$

$a + b = -2$ (4)

(3) - (2)より：

$(3a + 3b + c) - (a - b + c) = -18 - (-2)$

$2a + 4b = -16$

$a + 2b = -8$ (5)

(5) - (4)より：

$(a + 2b) - (a + b) = -8 - (-2)$

$b = -6$

(4)に代入して：

$a - 6 = -2$

$a = 4$

(1)に代入して：

$2(4) + c = -4$

$8 + c = -4$

$c = -12$

したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$。

これを標準形に変形する。

$(x^2 + 4x) + (y^2 - 6y) = 12$

$(x^2 + 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = 12 + 4 + 9$

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

これは、中心が(-2, 3)で半径が5の円である。

3. 最終的な答え

$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

あるいは

$x^2 + y^2 + 4x - 6y - 12 = 0$