3点 A(1, 0), B(2, $\sqrt{3}$), C(5, 2) を頂点とする三角形の面積 S を求めます。

1. 問題の内容

3点 A(1, 0), B(2, $\sqrt{3}$), C(5, 2) を頂点とする三角形の面積 S を求めます。

2. 解き方の手順

三角形の面積は、ベクトルの外積を利用して求めることができます。

まず、ベクトル $\overrightarrow{AB}$ と $\overrightarrow{AC}$ を求めます。

$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-1 \\ \sqrt{3} - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ \sqrt{3} \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-1 \\ 2-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

次に、これらのベクトルからなる行列式を計算します。

面積Sは、この行列式の絶対値の半分として計算できます。

行列式は以下のように計算できます。

$S = \frac{1}{2} |(1)(2) - (\sqrt{3})(4)| = \frac{1}{2} |2 - 4\sqrt{3}|$

$S = \frac{1}{2} |2 - 4\sqrt{3}| = \frac{1}{2} |2(1-2\sqrt{3})| = |1-2\sqrt{3}|$

ここで $2\sqrt{3} > 1$ なので、$1-2\sqrt{3} < 0$ です。

したがって、$|1-2\sqrt{3}| = -(1-2\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}-1$

3. 最終的な答え

$S = 2\sqrt{3}-1$