問題文には、線分ABを $m:n$ に外分する点Qの位置ベクトル $\vec{q}$ が $$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$$ で与えられています。 問2では、2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)に対して、線分ABを3:2および2:5に内分する点と外分する点の位置ベクトルを、それぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で表す必要があります。

1. 問題の内容

問題文には、線分ABを $m:n$ に外分する点Qの位置ベクトル $\vec{q}$ が

$$\vec{q} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$$

で与えられています。

問2では、2点A($\vec{a}$), B($\vec{b}$)に対して、線分ABを3:2および2:5に内分する点と外分する点の位置ベクトルを、それぞれ$\vec{a}, \vec{b}$で表す必要があります。

2. 解き方の手順

まず内分点の公式を復習します。線分ABを $m:n$ に内分する点Pの位置ベクトル $\vec{p}$ は、

$$\vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$$

で与えられます。

外分点の公式は問題文に与えられています。

(1) 3:2 の場合

内分点：$m=3, n=2$を内分点の公式に代入して、

$$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{3+2} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$$

外分点：$m=3, n=2$を外分点の公式に代入して、

$$\vec{q} = \frac{-2\vec{a} + 3\vec{b}}{3-2} = -2\vec{a} + 3\vec{b}$$

(2) 2:5 の場合

内分点：$m=2, n=5$を内分点の公式に代入して、

$$\vec{p} = \frac{5\vec{a} + 2\vec{b}}{2+5} = \frac{5\vec{a} + 2\vec{b}}{7}$$

外分点：$m=2, n=5$を外分点の公式に代入して、

$$\vec{q} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{2-5} = \frac{-5\vec{a} + 2\vec{b}}{-3} = \frac{5\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) 3:2

内分点: $\frac{2\vec{a} + 3\vec{b}}{5}$

外分点: $-2\vec{a} + 3\vec{b}$

(2) 2:5

内分点: $\frac{5\vec{a} + 2\vec{b}}{7}$

外分点: $\frac{5\vec{a} - 2\vec{b}}{3}$