2点Aの位置ベクトルを $\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを $\vec{b}$ とするとき、線分ABを以下の比に内分または外分する点の位置ベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。 (1) 線分ABの中点Mの位置ベクトル $\vec{m}$ (2) 線分ABを3:5に内分する点Cの位置ベクトル $\vec{c}$ (3) 線分ABを5:3に外分する点Dの位置ベクトル $\vec{d}$ (4) 線分ABを4:7に内分する点Eの位置ベクトル $\vec{e}$ (5) 線分ABを2:3に外分する点Fの位置ベクトル $\vec{f}$

1. 問題の内容

2点Aの位置ベクトルを $\vec{a}$、点Bの位置ベクトルを $\vec{b}$ とするとき、線分ABを以下の比に内分または外分する点の位置ベクトルを $\vec{a}$ と $\vec{b}$ を用いて表す。

(1) 線分ABの中点Mの位置ベクトル $\vec{m}$

(2) 線分ABを3:5に内分する点Cの位置ベクトル $\vec{c}$

(3) 線分ABを5:3に外分する点Dの位置ベクトル $\vec{d}$

(4) 線分ABを4:7に内分する点Eの位置ベクトル $\vec{e}$

(5) 線分ABを2:3に外分する点Fの位置ベクトル $\vec{f}$

2. 解き方の手順

線分ABをm:nに内分する点の位置ベクトルは $\frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n}$ であり、外分する点の位置ベクトルは $\frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n}$ で表される。中点の位置ベクトルは内分点の公式で $m = n = 1$ とした場合と等しい。

(1) 中点Mの位置ベクトル $\vec{m}$ は、内分点の公式で $m=n=1$ とすると、

$\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(2) 3:5に内分する点Cの位置ベクトル $\vec{c}$ は、内分点の公式で $m=3$, $n=5$ とすると、

$\vec{c} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{3+5} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{8}$

(3) 5:3に外分する点Dの位置ベクトル $\vec{d}$ は、外分点の公式で $m=5$, $n=3$ とすると、

$\vec{d} = \frac{-3\vec{a} + 5\vec{b}}{5-3} = \frac{-3\vec{a} + 5\vec{b}}{2}$

(4) 4:7に内分する点Eの位置ベクトル $\vec{e}$ は、内分点の公式で $m=4$, $n=7$ とすると、

$\vec{e} = \frac{7\vec{a} + 4\vec{b}}{4+7} = \frac{7\vec{a} + 4\vec{b}}{11}$

(5) 2:3に外分する点Fの位置ベクトル $\vec{f}$ は、外分点の公式で $m=2$, $n=3$ とすると、

$\vec{f} = \frac{-3\vec{a} + 2\vec{b}}{2-3} = \frac{-3\vec{a} + 2\vec{b}}{-1} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(2) $\vec{c} = \frac{5\vec{a} + 3\vec{b}}{8}$

(3) $\vec{d} = \frac{-3\vec{a} + 5\vec{b}}{2}$

(4) $\vec{e} = \frac{7\vec{a} + 4\vec{b}}{11}$

(5) $\vec{f} = 3\vec{a} - 2\vec{b}$