三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で与えられています。辺BCを2:1に外分する点をD、辺ABの中点をEとします。線分EDを1:2に内分する点をFとするとき、点D, E, Fの位置ベクトル $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表します。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、点A, B, Cの位置ベクトルがそれぞれ $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で与えられています。辺BCを2:1に外分する点をD、辺ABの中点をEとします。線分EDを1:2に内分する点をFとするとき、点D, E, Fの位置ベクトル $\vec{d}$, $\vec{e}$, $\vec{f}$ を $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ を用いて表します。

2. 解き方の手順

(1) 点Dの位置ベクトル $\vec{d}$ を求める。

点Dは辺BCを2:1に外分するので、外分点の公式より

$\vec{d} = \frac{-1\vec{b} + 2\vec{c}}{2-1} = - \vec{b} + 2\vec{c}$

(2) 点Eの位置ベクトル $\vec{e}$ を求める。

点Eは辺ABの中点なので、

$\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(3) 点Fの位置ベクトル $\vec{f}$ を求める。

点Fは線分EDを1:2に内分するので、内分点の公式より

$\vec{f} = \frac{2\vec{e} + 1\vec{d}}{1+2} = \frac{2(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}) + (-\vec{b} + 2\vec{c})}{3} = \frac{\vec{a} + \vec{b} - \vec{b} + 2\vec{c}}{3} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{d} = -\vec{b} + 2\vec{c}$

(2) $\vec{e} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(3) $\vec{f} = \frac{\vec{a} + 2\vec{c}}{3}$