図aにおいて、点Oは三角形ABCの外心である。図bにおいて、点Iは三角形ABCの内心である。図aの角$\alpha$の大きさと図bの角$\beta$の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

図aにおいて、点Oは三角形ABCの外心である。図bにおいて、点Iは三角形ABCの内心である。図aの角$\alpha$の大きさと図bの角$\beta$の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

図aについて：

Oは三角形ABCの外心なので、$OA = OB = OC$である。

したがって、三角形OABと三角形OACは二等辺三角形である。

三角形OABにおいて、$OA = OB$より、$\angle OAB = \angle OBA = \alpha$

三角形OACにおいて、$OA = OC$より、$\angle OAC = \angle OCA = 25^\circ$

三角形ABCの内角の和は180°なので、

$\angle ABC + \angle BCA + \angle CAB = 180^\circ$

$\alpha + 25^\circ + 55^\circ = 180^\circ$

$\alpha + 80^\circ = 180^\circ$

$\alpha = 180^\circ - 80^\circ$

$\alpha = 100^\circ$

$\angle BAC = 55^\circ$なので、$\angle BAO = 55^{\circ} - 25^{\circ} = 30^{\circ}$

三角形OABにおいて、

$\angle AOB = 180^\circ - 2\alpha$

三角形OACにおいて、$\angle AOC = 180^\circ - 2 \times 25^\circ = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$

$\angle BOC = 2 \angle BAC = 2 \times 55^\circ = 110^\circ$

三角形OBCにおいて、$\angle OBC = \angle OCB$

$\angle OBC + \angle OCB + \angle BOC = 180^\circ$

$2 \angle OBC + 110^\circ = 180^\circ$

$2 \angle OBC = 70^\circ$

$\angle OBC = 35^\circ$

$\alpha = \angle ABO = \angle ABC - \angle OBC = \angle ABC - 35^\circ$

$\angle ACB = 25^\circ$

$\angle ABC = 180^\circ - 55^\circ - 25^\circ = 100^\circ$

$\alpha = 100^\circ - 35^\circ = 65^\circ$

図bについて：

Iは三角形ABCの内心なので、BIとCIはそれぞれ角Bと角Cの二等分線である。

$\angle ABC = 50^\circ$なので、$\angle IBC = \frac{50^\circ}{2} = 25^\circ$

$\angle ACB = 25^\circ$なので、$\angle ICB = \frac{25^\circ}{2} = 12.5^\circ$

三角形IBCの内角の和は180°なので、

$\angle IBC + \angle ICB + \beta = 180^\circ$

$25^\circ + 12.5^\circ + \beta = 180^\circ$

$37.5^\circ + \beta = 180^\circ$

$\beta = 180^\circ - 37.5^\circ$

$\beta = 142.5^\circ$

3. 最終的な答え

$\alpha = 65^\circ$

$\beta = 142.5^\circ$