三角形ABCにおいて、AB=3, BC=4, tanA=$2\sqrt{3}$である。 (1)cosAを求める。 (2)ACを求める。 (3)角Bを求める。 (4)三角形ABCの外接円の半径R1を求める。 (5)辺BCの中点をMとしたとき、AMを求める。 (6)三角形ABMの外接円の半径R2を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=3, BC=4, tanA=$2\sqrt{3}$である。

(1)cosAを求める。

(2)ACを求める。

(3)角Bを求める。

(4)三角形ABCの外接円の半径R1を求める。

(5)辺BCの中点をMとしたとき、AMを求める。

(6)三角形ABMの外接円の半径R2を求める。

2. 解き方の手順

(1) tanA=$2\sqrt{3}$より、$\cos^2A = \frac{1}{1+\tan^2A} = \frac{1}{1+(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{13}$

Aは鋭角なので、$\cos A = \frac{1}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

(2) 余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cos A$

$4^2 = 3^2 + AC^2 - 2 \cdot 3 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{13}}{13}$

$16 = 9 + AC^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13} AC$

$AC^2 - \frac{6\sqrt{13}}{13} AC - 7 = 0$

$13AC^2 - 6\sqrt{13} AC - 91 = 0$

$AC = \frac{6\sqrt{13} \pm \sqrt{(6\sqrt{13})^2 - 4(13)(-91)}}{26} = \frac{6\sqrt{13} \pm \sqrt{468+4732}}{26} = \frac{6\sqrt{13} \pm \sqrt{5200}}{26} = \frac{6\sqrt{13} \pm 20\sqrt{13}}{26}$

$AC = \frac{26\sqrt{13}}{26} = \sqrt{13}$ または $AC = \frac{-14\sqrt{13}}{26} = \frac{-7\sqrt{13}}{13}$

AC>0より、AC=$\sqrt{13}$

(3) 正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$

$\sin A = \tan A \cdot \cos A = 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{13} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$

$\frac{\sqrt{13}}{\sin B} = \frac{4}{\frac{2\sqrt{39}}{13}}$

$\sin B = \frac{\sqrt{13} \cdot 2\sqrt{39}}{4 \cdot 13} = \frac{2\sqrt{507}}{52} = \frac{2\sqrt{9\cdot 56.33}}{52} = \frac{6\sqrt{56.33}}{52} = \frac{3\sqrt{56.33}}{26} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、B=60°

(4) 正弦定理より、

$\frac{AC}{\sin B} = 2R_1$

$2R_1 = \frac{\sqrt{13}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{39}}{3}$

$R_1 = \frac{\sqrt{39}}{3}$

(5) 中線定理より、

$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$

$3^2 + (\sqrt{13})^2 = 2(AM^2 + 2^2)$

$9 + 13 = 2(AM^2 + 4)$

$22 = 2AM^2 + 8$

$2AM^2 = 14$

$AM^2 = 7$

$AM = \sqrt{7}$

(6) 正弦定理より、

$\frac{AM}{\sin B} = 2R_2$ (三角形ABMについて)

$\angle AMB = 180^\circ - \angle AMC$

$\angle AMC$を求めるには余弦定理

$AC^2 = AM^2 + MC^2 -2AM*MC \cos AMC$

$13 = 7 + 4 - 2\sqrt{7} * 2 * \cos AMC$

$2 = -4\sqrt{7} \cos AMC$

$\cos AMC = -\frac{1}{2\sqrt{7}}$

$\sin^2 AMC = 1 - \frac{1}{28} = \frac{27}{28}$

$\sin AMC = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$

$2R_2 = \frac{3}{\sin \angle AMB} = \frac{3}{\sin(180-A) } = \frac{3}{\sin A} = \frac{3}{ \frac{2\sqrt{39}}{13}} = \frac{39}{2\sqrt{39}} = \frac{39\sqrt{39}}{2*39} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

$R_2 = \frac{AM}{\sin B}= \frac{\sqrt{7}}{\sin B} = \frac{\sqrt{7}}{\sin B}= \frac{\sqrt{7}}{ \frac{\sqrt{39}}{ \sqrt{13}} } = \frac{ \sqrt{39}}{6}$

$R_2= \frac{ \frac{\sqrt{39}}{2}} {2\frac{4}{2}}$

$AM= \sqrt{7}$

$R_2 = 3 \sqrt{10}$

よって$R2 = \frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{21}}{3}$

3. 最終的な答え

(1) cosA=$\frac{\sqrt{13}}{13}$

(2) AC=$\sqrt{13}$

(3) 角B=30

(4) R1=$\frac{\sqrt{39}}{3}$

(5) AM=$\sqrt{7}$

(6) R2=$\frac{\sqrt{21}}{3}$