点 $F(1, 0)$ からの距離と、直線 $x = -1$ からの距離の比が $\sqrt{2} : 1$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $F(1, 0)$ からの距離と、直線 $x = -1$ からの距離の比が $\sqrt{2} : 1$ である点 $P$ の軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

点 $F(1, 0)$ から点 $P(x, y)$ までの距離は、

$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 1)^2 + y^2}$

直線 $x = -1$ から点 $P(x, y)$ までの距離は、

$|x - (-1)| = |x + 1|$

問題文より、これらの距離の比が $\sqrt{2} : 1$ であるから、

$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} : |x + 1| = \sqrt{2} : 1$

$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} = \sqrt{2} |x + 1|$

両辺を2乗すると、

$(x - 1)^2 + y^2 = 2 (x + 1)^2$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 2(x^2 + 2x + 1)$

$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 2x^2 + 4x + 2$

$x^2 + 6x - y^2 + 1 = 0$

$x^2 + 6x + 9 - y^2 = 8$

$(x + 3)^2 - y^2 = 8$

$\frac{(x + 3)^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$

3. 最終的な答え

$\frac{(x + 3)^2}{8} - \frac{y^2}{8} = 1$