四面体OABCにおいて、辺ABを4:5に内分する点をDとし、線分CDを7:3に内分する点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺ABを4:5に内分する点をDとし、線分CDを7:3に内分する点をPとする。$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$, $\vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表せ。

2. 解き方の手順

まず、点Dは辺ABを4:5に内分するので、$\vec{OD}$を$\vec{a}$と$\vec{b}$を用いて表します。次に、点Pは線分CDを7:3に内分するので、$\vec{OP}$を$\vec{OC}$と$\vec{OD}$を用いて表します。最後に$\vec{OD}$に求めたものを代入して、$\vec{OP}$を$\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$を用いて表します。

点Dは辺ABを4:5に内分するので、

$\vec{OD} = \frac{5\vec{OA} + 4\vec{OB}}{4+5} = \frac{5\vec{a} + 4\vec{b}}{9}$

点Pは線分CDを7:3に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OC} + 7\vec{OD}}{7+3} = \frac{3\vec{c} + 7\vec{OD}}{10}$

ここに$\vec{OD}$を代入すると、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{c} + 7(\frac{5\vec{a} + 4\vec{b}}{9})}{10} = \frac{3\vec{c} + \frac{35}{9}\vec{a} + \frac{28}{9}\vec{b}}{10} = \frac{\frac{27}{9}\vec{c} + \frac{35}{9}\vec{a} + \frac{28}{9}\vec{b}}{10} = \frac{35\vec{a} + 28\vec{b} + 27\vec{c}}{90}$

3. 最終的な答え

$\vec{OP} = \frac{35}{90}\vec{a} + \frac{28}{90}\vec{b} + \frac{27}{90}\vec{c} = \frac{35}{90}\vec{a} + \frac{14}{45}\vec{b} + \frac{3}{10}\vec{c}$

$\vec{OP} = \frac{35\vec{a} + 28\vec{b} + 27\vec{c}}{90}$