はい、承知しました。以下の問題について回答します。

はい、承知しました。以下の問題について回答します。

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1. 問題の内容**

334, 335, 336 の3つの問題があります。

* 334: 三角関数の値を求める問題です。具体的には、(1) $\cos \frac{7}{4}\pi$, (2) $\sin (-\frac{2}{3}\pi)$, (3) $\tan \frac{13}{6}\pi$ の値を求めます。

* 335: $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ ($0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$) と $\cos \beta = \frac{2}{3}$ ($\frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi$) のとき、(1) $\sin(\alpha - \beta)$, (2) $\cos(\alpha + \beta)$, (3) $\tan(\alpha + \beta)$, (4) $\sin 2\alpha$, (5) $\tan 2\beta$, (6) $\cos \frac{\beta}{2}$ の値を求めます。

* 336: 半径が3、中心角が $\frac{5}{7}\pi$ の扇形の弧の長さと面積を求めます。

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2. 解き方の手順**

* **334**

(1) $\cos \frac{7}{4}\pi = \cos (2\pi - \frac{1}{4}\pi) = \cos (-\frac{1}{4}\pi) = \cos (\frac{1}{4}\pi) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $\sin (-\frac{2}{3}\pi) = - \sin \frac{2}{3}\pi = - \sin (\pi - \frac{1}{3}\pi) = -\sin (\frac{1}{3}\pi) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\tan \frac{13}{6}\pi = \tan (2\pi + \frac{1}{6}\pi) = \tan (\frac{1}{6}\pi) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

* **335**

まず、$\cos \alpha$ と $\sin \beta$ を求めます。

$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{3})^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

$0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos \alpha > 0$ なので、

$\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

$\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$

$\frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi$ より、$\sin \beta < 0$ なので、

$\sin \beta = -\sqrt{\frac{5}{9}} = -\frac{\sqrt{5}}{3}$

(1) $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = \frac{2}{9} + \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$

(2) $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{2\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{2}{3} - \frac{1}{3} \cdot (-\frac{\sqrt{5}}{3}) = \frac{4\sqrt{2}}{9} + \frac{\sqrt{5}}{9} = \frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$

(3) $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos(\alpha + \beta)}$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3}\frac{2}{3} + \frac{2\sqrt{2}}{3}(-\frac{\sqrt{5}}{3}) = \frac{2}{9} - \frac{2\sqrt{10}}{9} = \frac{2-2\sqrt{10}}{9}$

$\cos(\alpha + \beta) = \frac{4\sqrt{2}+\sqrt{5}}{9}$ より

$\tan(\alpha + \beta) = \frac{2-2\sqrt{10}}{4\sqrt{2}+\sqrt{5}} = \frac{(2-2\sqrt{10})(4\sqrt{2}-\sqrt{5})}{(4\sqrt{2}+\sqrt{5})(4\sqrt{2}-\sqrt{5})} = \frac{8\sqrt{2} - 2\sqrt{5} - 8\sqrt{5} + 10\sqrt{2}}{32-5} = \frac{18\sqrt{2} - 10\sqrt{5}}{27}$

(4) $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha = 2 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}$

(5) $\tan 2\beta = \frac{2 \tan \beta}{1 - \tan^2 \beta}$

$\tan \beta = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

$\tan 2\beta = \frac{2(-\frac{\sqrt{5}}{2})}{1 - (-\frac{\sqrt{5}}{2})^2} = \frac{-\sqrt{5}}{1 - \frac{5}{4}} = \frac{-\sqrt{5}}{-\frac{1}{4}} = 4\sqrt{5}$

(6) $\cos \frac{\beta}{2}$. $\frac{3}{2}\pi < \beta < 2\pi$ なので $\frac{3}{4}\pi < \frac{\beta}{2} < \pi$。したがって、 $\cos \frac{\beta}{2} < 0$。

$\cos \beta = 2\cos^2 \frac{\beta}{2} - 1$

$\cos^2 \frac{\beta}{2} = \frac{\cos \beta + 1}{2} = \frac{\frac{2}{3} + 1}{2} = \frac{\frac{5}{3}}{2} = \frac{5}{6}$

$\cos \frac{\beta}{2} = -\sqrt{\frac{5}{6}} = -\frac{\sqrt{30}}{6}$

* **336**

扇形の弧の長さ $l$ は、$l = r\theta$ で求められます。ここで、$r = 3$、$\theta = \frac{5}{7}\pi$ なので、

$l = 3 \cdot \frac{5}{7}\pi = \frac{15}{7}\pi$

扇形の面積 $S$ は、$S = \frac{1}{2}r^2\theta$ で求められます。

$S = \frac{1}{2} \cdot 3^2 \cdot \frac{5}{7}\pi = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot \frac{5}{7}\pi = \frac{45}{14}\pi$

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3. 最終的な答え**

* 334:

(1) $\frac{\sqrt{2}}{2}$

(2) $-\frac{\sqrt{3}}{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

* 335:

(1) $\frac{2 + 2\sqrt{10}}{9}$

(2) $\frac{4\sqrt{2} + \sqrt{5}}{9}$

(3) $\frac{18\sqrt{2} - 10\sqrt{5}}{27}$

(4) $\frac{4\sqrt{2}}{9}$

(5) $4\sqrt{5}$

(6) $-\frac{\sqrt{30}}{6}$

* 336:

弧の長さ: $\frac{15}{7}\pi$

面積: $\frac{45}{14}\pi$