$AB = AC = 8$, $BC = 4$ の二等辺三角形 $ABC$ が円 $P$ に外接しているとき、三角形 $ABC$ の内部で円 $P$ の外部にある領域（網掛け部分）の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$AB = AC = 8$, $BC = 4$ の二等辺三角形 $ABC$ が円 $P$ に外接しているとき、三角形 $ABC$ の内部で円 $P$ の外部にある領域（網掛け部分）の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、三角形 $ABC$ の面積を求めます。次に、円 $P$ の半径を求め、円 $P$ の面積を計算します。最後に、三角形 $ABC$ の面積から円 $P$ の面積を引くと、網掛け部分の面積が求まります。

(1) 三角形 $ABC$ の面積：

$BC$ の中点を $M$ とすると、 $AM$ は $BC$ に対する垂線になります。

$BM = MC = 2$ であり、三平方の定理より、

$AM = \sqrt{AB^2 - BM^2} = \sqrt{8^2 - 2^2} = \sqrt{64 - 4} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}$

よって、三角形 $ABC$ の面積は、

$\frac{1}{2} \times BC \times AM = \frac{1}{2} \times 4 \times 2\sqrt{15} = 4\sqrt{15}$

(2) 円 $P$ の半径：

三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、内接円の半径 $r$ と半周長 $s$ を用いて $S = rs$ と表せます。

半周長 $s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{8 + 4 + 8}{2} = 10$

したがって、$4\sqrt{15} = r \times 10$ より、

$r = \frac{4\sqrt{15}}{10} = \frac{2\sqrt{15}}{5}$

(3) 円 $P$ の面積：

円 $P$ の面積は、$\pi r^2 = \pi (\frac{2\sqrt{15}}{5})^2 = \pi \times \frac{4 \times 15}{25} = \pi \times \frac{60}{25} = \frac{12}{5}\pi$

(4) 網掛け部分の面積：

網掛け部分の面積は、三角形 $ABC$ の面積から円 $P$ の面積を引いたものなので、

$4\sqrt{15} - \frac{12}{5}\pi$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{15} - \frac{12}{5}\pi$