座標平面上に3点A(-3, -1), B(2, -3), C(4, 1)がある。点Dはy軸上にあり、直線ADは直線BCと平行である。点Eは線分ACを3:4に内分する。 (1) 点Dの座標を求める。 (2) 内積 $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC}$を求める。 (3) △ACDの面積を求める。 (4) 点Eの座標を求める。 (5) 点Hは直線BC上にあり、直線EHは直線BCと垂直である。$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

1. 問題の内容

座標平面上に3点A(-3, -1), B(2, -3), C(4, 1)がある。点Dはy軸上にあり、直線ADは直線BCと平行である。点Eは線分ACを3:4に内分する。

(1) 点Dの座標を求める。

(2) 内積 $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC}$を求める。

(3) △ACDの面積を求める。

(4) 点Eの座標を求める。

(5) 点Hは直線BC上にあり、直線EHは直線BCと垂直である。$\overrightarrow{OH}$を$\overrightarrow{OB}$と$\overrightarrow{OC}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Dはy軸上にあるので、D(0, d)とおく。

$\overrightarrow{AD} = (3, d+1)$

$\overrightarrow{BC} = (2, 4)$

ADとBCが平行なので、$\overrightarrow{AD} = k\overrightarrow{BC}$とおける。

$(3, d+1) = k(2, 4)$

$3 = 2k$より$k = \frac{3}{2}$

$d+1 = 4k = 4 \times \frac{3}{2} = 6$

$d = 5$

よって、D(0, 5)

(2) $\overrightarrow{DA} = (-3, -6)$

$\overrightarrow{DC} = (4, -4)$

$\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC} = (-3)(4) + (-6)(-4) = -12 + 24 = 12$

(3) △ACDの面積は、

$\frac{1}{2} |(x_A - x_D)(y_C - y_D) - (x_C - x_D)(y_A - y_D)|$

$= \frac{1}{2} |(-3-0)(1-5) - (4-0)(-1-5)|$

$= \frac{1}{2} |(-3)(-4) - (4)(-6)|$

$= \frac{1}{2} |12 + 24| = \frac{1}{2} |36| = 18$

(4) 点Eは線分ACを3:4に内分するので、

$\overrightarrow{OE} = \frac{4\overrightarrow{OA} + 3\overrightarrow{OC}}{3+4} = \frac{4(-3, -1) + 3(4, 1)}{7} = \frac{(-12, -4) + (12, 3)}{7} = \frac{(0, -1)}{7} = (0, -\frac{1}{7})$

よって、E(0, -1/7)

(5) 点Hは直線BC上にあるので、$\overrightarrow{BH} = t\overrightarrow{BC}$ とおける。

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BH} = \overrightarrow{OB} + t\overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{OB} = (2, -3)$

$\overrightarrow{OC} = (4, 1)$

$\overrightarrow{BC} = (2, 4)$

$\overrightarrow{OH} = (2, -3) + t(2, 4) = (2+2t, -3+4t)$

$\overrightarrow{EH} = \overrightarrow{OH} - \overrightarrow{OE} = (2+2t, -3+4t) - (0, -\frac{1}{7}) = (2+2t, -\frac{20}{7} + 4t)$

$\overrightarrow{EH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

$(2+2t)(2) + (-\frac{20}{7} + 4t)(4) = 0$

$4 + 4t - \frac{80}{7} + 16t = 0$

$20t = \frac{80}{7} - 4 = \frac{80-28}{7} = \frac{52}{7}$

$t = \frac{52}{7 \times 20} = \frac{13}{35}$

$\overrightarrow{OH} = \overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}\overrightarrow{OC} - \frac{13}{35}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OH} = (1 - \frac{13}{35})\overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}\overrightarrow{OC} = \frac{22}{35}\overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}\overrightarrow{OC}$

3. 最終的な答え

(1) D(0, 5)

(2) $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DC} = 12$

(3) △ACDの面積 = 18

(4) E(0, -1/7)

(5) $\overrightarrow{OH} = \frac{22}{35}\overrightarrow{OB} + \frac{13}{35}\overrightarrow{OC}$