2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つとき、定数 $r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r > 0$ とする。

1. 問題の内容

2つの円 $x^2 + y^2 = r^2$ と $x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ が異なる2つの共有点を持つとき、定数 $r$ の値の範囲を求めよ。ただし、$r > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、2つ目の円の方程式を変形して、中心と半径を求める。

$x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$

$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + 4 = 0$

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) + 4 - 9 - 4 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 9$

したがって、この円の中心は $(3, -2)$ で、半径は $3$ である。

次に、2つの円が異なる2つの共有点を持つ条件を考える。2つの円の中心間の距離を $d$、それぞれの半径を $r_1$ と $r_2$ とすると、2つの円が異なる2点で交わるための条件は $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ である。

この問題では、$r_1 = r$, $r_2 = 3$ であり、中心間の距離 $d$ は、原点 $(0, 0)$ と $(3, -2)$ の距離なので、

$d = \sqrt{(3-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$

したがって、$|r - 3| < \sqrt{13} < r + 3$ という不等式が成り立つ必要がある。

まず、$\sqrt{13} < r + 3$ より、 $r > \sqrt{13} - 3$ である。

次に、$|r - 3| < \sqrt{13}$ より、 $-\sqrt{13} < r - 3 < \sqrt{13}$

$3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$

以上より、$r$ の範囲は $3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$ であり、かつ $r > \sqrt{13} - 3$ でなければならない。

また、$r > 0$ という条件があるので、$r > \sqrt{13} - 3$ は常に成り立つ。

従って、求める範囲は $3 - \sqrt{13} < r < 3 + \sqrt{13}$である。ここで$r > 0$ という条件より、$r$の範囲は$\sqrt{13}-3 \approx 0.605$であるから、$3-\sqrt{13}<0$である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{13} - 3 < r < 3 + \sqrt{13}$