点A(-1, 0)からの距離と、点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

はい、承知いたしました。問題200の(2)を解きます。

1. 問題の内容

点A(-1, 0)からの距離と、点B(3, 0)からの距離の比が1:3である点Pの軌跡を求めます。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。

点A(-1, 0)と点P(x, y)の距離APは、

$AP = \sqrt{(x-(-1))^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x+1)^2 + y^2}$

点B(3, 0)と点P(x, y)の距離BPは、

$BP = \sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

AP:BP = 1:3であることから、

$3AP = BP$

$3\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-3)^2 + y^2}$

両辺を2乗して、

$9((x+1)^2 + y^2) = (x-3)^2 + y^2$

$9(x^2 + 2x + 1 + y^2) = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$9x^2 + 18x + 9 + 9y^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$8x^2 + 24x + 8y^2 = 0$

$x^2 + 3x + y^2 = 0$

$x^2 + 3x + (3/2)^2 + y^2 = (3/2)^2$

$(x + 3/2)^2 + y^2 = 9/4$

これは、中心が(-3/2, 0)、半径が3/2の円を表します。

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心が(-3/2, 0)、半径が3/2の円である。

$(x + \frac{3}{2})^2 + y^2 = \frac{9}{4}$