(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求める。 (2) 点 $P(1, 2, -1)$ を通り、次の2つの直線 $l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$, $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求める。

1. 問題の内容

(1) 空間内の直線 $l: x-a = \frac{y+1}{b} = \frac{z-2}{3}$ が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ に含まれるとき、実数 $a, b$ の値を求める。

(2) 点 $P(1, 2, -1)$ を通り、次の2つの直線 $l_1: x+1 = \frac{y-4}{2} = \frac{z+2}{-2}$, $l_2: x-1 = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{3}$ に平行な平面 $\beta$ の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $l$ 上の任意の点は、$t$ を実数として、$x=a+t$, $y=-1+bt$, $z=2+3t$ と表せる。この点が平面 $\alpha: x-2y+z-1=0$ 上にあるので、

$$(a+t) - 2(-1+bt) + (2+3t) - 1 = 0$$

$$a + t + 2 - 2bt + 2 + 3t - 1 = 0$$

$$a + 3 + (4 - 2b)t = 0$$

これが任意の $t$ について成り立つためには、

$$a+3 = 0$$

$$4-2b = 0$$

でなければならない。よって、$a = -3$, $b = 2$。

(2) 直線 $l_1$ の方向ベクトルは $\vec{v_1} = (1, 2, -2)$ であり、直線 $l_2$ の方向ベクトルは $\vec{v_2} = (1, -2, 3)$ である。平面 $\beta$ は点 $P(1, 2, -1)$ を通り、$\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ に平行であるから、平面 $\beta$ の法線ベクトル $\vec{n}$ は $\vec{v_1}$ と $\vec{v_2}$ の外積に平行である。

$$\vec{n} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = (6-4)\vec{i} - (3+2)\vec{j} + (-2-2)\vec{k} = (2, -5, -4)$$

したがって、平面 $\beta$ の方程式は、

$$2(x-1) - 5(y-2) - 4(z+1) = 0$$

$$2x - 2 - 5y + 10 - 4z - 4 = 0$$

$$2x - 5y - 4z + 4 = 0$$

3. 最終的な答え

(1) $a = -3$, $b = 2$

(2) $2x - 5y - 4z + 4 = 0$