点A, Bが与えられたときに、与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求めます。 (1) A(2, 0), B(0, -6) に対して, $AP = BP$ を満たす点P (2) A(-3, 0), B(3, 0) に対して, $AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点P (3) A(-1, 0), B(1, 0) に対して, $AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点P

1. 問題の内容

点A, Bが与えられたときに、与えられた条件を満たす点Pの軌跡を求めます。

(1) A(2, 0), B(0, -6) に対して, $AP = BP$ を満たす点P

(2) A(-3, 0), B(3, 0) に対して, $AP^2 + BP^2 = 20$ を満たす点P

(3) A(-1, 0), B(1, 0) に対して, $AP^2 - BP^2 = 1$ を満たす点P

2. 解き方の手順

(1)

点Pの座標を(x, y)とします。$AP = BP$ より、$AP^2 = BP^2$なので、

$(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 0)^2 + (y - (-6))^2$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 + 12y + 36$

$-4x + 4 = 12y + 36$

$-4x - 12y = 32$

$x + 3y = -8$

(2)

点Pの座標を(x, y)とします。$AP^2 + BP^2 = 20$ より、

$(x - (-3))^2 + (y - 0)^2 + (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = 20$

$(x + 3)^2 + y^2 + (x - 3)^2 + y^2 = 20$

$x^2 + 6x + 9 + y^2 + x^2 - 6x + 9 + y^2 = 20$

$2x^2 + 2y^2 + 18 = 20$

$2x^2 + 2y^2 = 2$

$x^2 + y^2 = 1$

(3)

点Pの座標を(x, y)とします。$AP^2 - BP^2 = 1$ より、

$(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 - ((x - 1)^2 + (y - 0)^2) = 1$

$(x + 1)^2 + y^2 - (x - 1)^2 - y^2 = 1$

$x^2 + 2x + 1 - (x^2 - 2x + 1) = 1$

$x^2 + 2x + 1 - x^2 + 2x - 1 = 1$

$4x = 1$

$x = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $x + 3y = -8$

(2) $x^2 + y^2 = 1$

(3) $x = \frac{1}{4}$