中心が直線 $y=x+13$ 上にあり、原点$(0,0)$と点$(2,3)$を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

中心が直線 $y=x+13$ 上にあり、原点$(0,0)$と点$(2,3)$を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

円の中心を $(a, b)$ とすると、円の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ で表される。

中心が直線 $y = x + 13$ 上にあるので、$b = a + 13$ が成り立つ。

また、円は原点 $(0,0)$ と点 $(2,3)$ を通るので、

$(0-a)^2 + (0-b)^2 = r^2$

$(2-a)^2 + (3-b)^2 = r^2$

が成り立つ。

これらの式を展開し、整理する。

$a^2 + b^2 = r^2$

$(2-a)^2 + (3-b)^2 = r^2$

$4 - 4a + a^2 + 9 - 6b + b^2 = r^2$

$a^2 + b^2 - 4a - 6b + 13 = r^2$

$a^2 + b^2 = r^2$ より、

$r^2 - 4a - 6b + 13 = r^2$

$-4a - 6b + 13 = 0$

$4a + 6b = 13$

$b = a + 13$ を $4a + 6b = 13$ に代入する。

$4a + 6(a + 13) = 13$

$4a + 6a + 78 = 13$

$10a = -65$

$a = -\frac{65}{10} = -\frac{13}{2}$

$b = a + 13 = -\frac{13}{2} + 13 = -\frac{13}{2} + \frac{26}{2} = \frac{13}{2}$

中心は $(-\frac{13}{2}, \frac{13}{2})$ である。

$r^2 = a^2 + b^2 = (-\frac{13}{2})^2 + (\frac{13}{2})^2 = \frac{169}{4} + \frac{169}{4} = \frac{338}{4} = \frac{169}{2}$

円の方程式は

$(x + \frac{13}{2})^2 + (y - \frac{13}{2})^2 = \frac{169}{2}$

3. 最終的な答え

$(x + \frac{13}{2})^2 + (y - \frac{13}{2})^2 = \frac{169}{2}$