正の実数 $x$ に対して、三角形ABCがあり、$AB = x$, $BC = x+1$, $CA = x+2$ である。 (1) $x$ のとり得る値の範囲を求める。 (2) $\cos \angle ABC$ を $x$ を用いて表す。 (3) 三角形ABCが鈍角三角形となる $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の実数 $x$ に対して、三角形ABCがあり、$AB = x$, $BC = x+1$, $CA = x+2$ である。

(1) $x$ のとり得る値の範囲を求める。

(2) $\cos \angle ABC$ を $x$ を用いて表す。

(3) 三角形ABCが鈍角三角形となる $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) 三角形の成立条件より、

$AB + BC > CA$, $BC + CA > AB$, $CA + AB > BC$

$x + (x+1) > x+2$, $(x+1) + (x+2) > x$, $(x+2) + x > x+1$

$2x + 1 > x+2$, $2x + 3 > x$, $2x + 2 > x+1$

$x > 1$, $x > -3$, $x > -1$

$x > 1$ かつ $x > 0$ である必要があるので、$x > 1$ が必要十分条件。

したがって、$x>1$

(2) 余弦定理より、

$CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle ABC$

$(x+2)^2 = x^2 + (x+1)^2 - 2x(x+1)\cos \angle ABC$

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + x^2 + 2x + 1 - 2x(x+1)\cos \angle ABC$

$2x(x+1) \cos \angle ABC = x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$

$\cos \angle ABC = \frac{(x-3)(x+1)}{2x(x+1)} = \frac{x-3}{2x}$ （$x > 1$ より $x+1 \ne 0$）

(3) 三角形ABCが鈍角三角形となるのは、$\angle ABC$ が鈍角のときである。

$\angle ABC$ が鈍角のとき、$\cos \angle ABC < 0$ である。

$\frac{x-3}{2x} < 0$

$2x > 0$ より、$x-3 < 0$

$x < 3$

また、$x>1$ である必要があるので、$1 < x < 3$

3. 最終的な答え

(1) $x > 1$

(2) $\cos \angle ABC = \frac{x-3}{2x}$

(3) $1 < x < 3$