問題は、角 $\theta$ を媒介変数として、与えられた曲線を表すことです。具体的には、以下の6つの曲線について考えます。 (1) $x^2 + y^2 = 25$ (2) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ (3) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$ (4) $x^2 + y^2 = 3$ (5) $4x^2 + 9y^2 = 36$ (6) $x^2 - 16y^2 = -4$

1. 問題の内容

問題は、角 $\theta$ を媒介変数として、与えられた曲線を表すことです。具体的には、以下の6つの曲線について考えます。

(1) $x^2 + y^2 = 25$

(2) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

(3) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$

(4) $x^2 + y^2 = 3$

(5) $4x^2 + 9y^2 = 36$

(6) $x^2 - 16y^2 = -4$

2. 解き方の手順

(1) $x^2 + y^2 = 25$

これは円の方程式です。半径は $\sqrt{25}=5$ です。媒介変数表示は $x = 5\cos\theta$, $y = 5\sin\theta$ となります。

(2) $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$

これは楕円の方程式です。長軸は $\sqrt{25} = 5$, 短軸は $\sqrt{9} = 3$ です。媒介変数表示は $x = 5\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$ となります。

(3) $\frac{x^2}{4} - y^2 = 1$

これは双曲線の方程式です。媒介変数表示は $x = 2\sec\theta$, $y = \tan\theta$ となります。もしくは $x = 2\cosh\theta$, $y = \sinh\theta$ でも構いません。

(4) $x^2 + y^2 = 3$

これは円の方程式です。半径は $\sqrt{3}$ です。媒介変数表示は $x = \sqrt{3}\cos\theta$, $y = \sqrt{3}\sin\theta$ となります。

(5) $4x^2 + 9y^2 = 36$

これは楕円の方程式です。両辺を36で割ると、 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ となります。長軸は $\sqrt{9} = 3$, 短軸は $\sqrt{4} = 2$ です。媒介変数表示は $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$ となります。

(6) $x^2 - 16y^2 = -4$

これは双曲線の方程式です。両辺を-4で割ると、 $4y^2 - \frac{x^2}{4} = 1$ となります。これは $\frac{y^2}{(1/2)^2} - \frac{x^2}{2^2} = 1$ と書けます。媒介変数表示は $x = 2\tan\theta$, $y = \frac{1}{2}\sec\theta$ となります。もしくは $x = 2\sinh\theta$, $y = \frac{1}{2}\cosh\theta$ でも構いません。

3. 最終的な答え

(1) $x = 5\cos\theta$, $y = 5\sin\theta$

(2) $x = 5\cos\theta$, $y = 3\sin\theta$

(3) $x = 2\sec\theta$, $y = \tan\theta$ (または $x = 2\cosh\theta$, $y = \sinh\theta$)

(4) $x = \sqrt{3}\cos\theta$, $y = \sqrt{3}\sin\theta$

(5) $x = 3\cos\theta$, $y = 2\sin\theta$

(6) $x = 2\tan\theta$, $y = \frac{1}{2}\sec\theta$ (または $x = 2\sinh\theta$, $y = \frac{1}{2}\cosh\theta$)