角 $A$ が $\pi/2$ より大きい鈍角三角形 $ABC$ において、正弦定理 $2R = \frac{a}{\sin A}$ が成り立つことを証明する。ここで、$a, b, c$ はそれぞれ角 $A, B, C$ に対する対辺の長さ、$R$ は外接円の半径である。

1. 問題の内容

角 $A$ が $\pi/2$ より大きい鈍角三角形 $ABC$ において、正弦定理 $2R = \frac{a}{\sin A}$ が成り立つことを証明する。ここで、$a, b, c$ はそれぞれ角 $A, B, C$ に対する対辺の長さ、$R$ は外接円の半径である。

2. 解き方の手順

(1) 三角形 $ABC$ の外接円を考える。$BC$ を弦とする円周角を考える。

$A$ が鈍角なので、円の中心 $O$ は $BC$ に対して $A$ と同じ側にはない。

(2) 点 $B$ から外接円の中心 $O$ を通り、外接円と交わる点を $B'$ とする。すると、$\angle BAB'=90^\circ$。

$\angle ACB = \angle AB'B$.

(3) $\triangle AB'B$ において、正弦定理より

$\frac{AB'}{\sin \angle AB'B} = \frac{AB'}{\sin C} = BB'=2R$

$AB' = 2R\sin C$.

(4) $\angle BB'C = A'$. $A'+A = \pi$.

$\sin A = \sin (\pi - A) = \sin A'$.

(5) $BC = a$, $BB' = 2R$ より、

$\sin A' = \frac{a}{2R}$.

したがって、

$\sin A = \sin A' = \frac{a}{2R}$

$2R = \frac{a}{\sin A}$

となり、正弦定理が成り立つ。

3. 最終的な答え

鈍角三角形$ABC$において、正弦定理 $2R = \frac{a}{\sin A}$ が成り立つ。