三角形ABCにおいて、$AB = 2$, $AC = 2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ が与えられている。 (1) このとき、$BC$ を求める。 (2) $\sin B$ を求める。 さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ である。 このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \sqrt{\frac{\text{オ}}{\text{カ}}}BD$ であり、また、正弦定理により、$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$ となる。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$AB = 2$, $AC = 2\sqrt{3}$, $\cos A = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ が与えられている。

(1) このとき、$BC$ を求める。

(2) $\sin B$ を求める。

さらに、点Dは辺BC上にあり、$\cos \angle BAD = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ である。

このとき、$AB = \frac{2\sqrt{2}}{3}AD + \sqrt{\frac{\text{オ}}{\text{カ}}}BD$ であり、また、正弦定理により、$AD = \sqrt{\text{キ}}BD$ となる。

2. 解き方の手順

(1) 余弦定理を用いて、$BC$ を求める。

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

$BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

$BC^2 = 4 + 12 + 8 = 24$

$BC = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$

(2) 正弦定理を用いて、$\sin B$ を求める。まず$\sin A$を求める。

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$

$\sin A = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (since $0 < A < \pi$, $\sin A > 0$)

正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$

$\sin B = \frac{AC \sin A}{BC} = \frac{2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6}}{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{18}}{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{6\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6}$

問題文の表現だと$sinB = \sqrt{\frac{6}{3}}$となりおかしいので、$\sin B = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}}$が正解だと思われる

3. 最終的な答え

(1) $BC = 2\sqrt{6}$

(2) $\sin B = \frac{\sqrt{3}}{6}$