直角三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}$、$AD = 2\sqrt{2}$が与えられている。 (1) $AC$と$BC$の長さを求める。 (2) $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求める。 (3) 鋭角$\theta$のおよその大きさを、三角比の表を用いて求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB = 2\sqrt{3}$、$AD = 2\sqrt{2}$が与えられている。

(1) $AC$と$BC$の長さを求める。

(2) $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求める。

(3) 鋭角$\theta$のおよその大きさを、三角比の表を用いて求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分AC, BCの長さを求める。

三角形ADCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC^2 + DC^2 = AD^2$。

角度ADCは45度なので、三角形ADCは直角二等辺三角形である。よって、$AC = DC$。

$AC^2 + AC^2 = (2\sqrt{2})^2$

$2AC^2 = 8$

$AC^2 = 4$

$AC = 2$

三角形ABCは直角三角形なので、ピタゴラスの定理より、$AC^2 + BC^2 = AB^2$。

$2^2 + BC^2 = (2\sqrt{3})^2$

$4 + BC^2 = 12$

$BC^2 = 8$

$BC = 2\sqrt{2}$

(2) $\sin \theta$, $\cos \theta$, $\tan \theta$の値を求める。

$\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) 鋭角$\theta$のおよその大きさを、三角比の表を用いて求める。

$\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1.414}{2} = 0.707$

表より、$\tan 35^\circ = 0.7002$、$\tan 36^\circ = 0.7265$なので、$\theta$はおよそ$35^\circ$に近い。

3. 最終的な答え

(1) $AC = 2$, $BC = 2\sqrt{2}$

(2) $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos \theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\tan \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$

(3) $\theta \approx 35^\circ$