与えられた直線 $y = 3x + 5$ に対して、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) この直線と原点との距離の二乗の値を求める。 (2) この直線と点(2, 3)との距離の二乗の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた直線 $y = 3x + 5$ に対して、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) この直線と原点との距離の二乗の値を求める。

(2) この直線と点(2, 3)との距離の二乗の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 直線 $ax + by + c = 0$ と点 $(x_0, y_0)$ との距離 $d$ は、以下の式で求められます。

$d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

与えられた直線 $y = 3x + 5$ は、$3x - y + 5 = 0$ と変形できます。したがって、$a = 3, b = -1, c = 5$ です。原点の座標は $(0, 0)$ なので、$x_0 = 0, y_0 = 0$ です。

これらの値を上記の公式に代入すると、

$d = \frac{|3(0) - 1(0) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{10}}$

問題では距離の二乗を求めているので、

$d^2 = (\frac{5}{\sqrt{10}})^2 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2} = 2.5$

(2) 点(2, 3)と直線 $3x - y + 5 = 0$ との距離 $d$ を求めます。$x_0 = 2, y_0 = 3$ です。上記の公式に代入すると、

$d = \frac{|3(2) - 1(3) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 3 + 5|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|8|}{\sqrt{10}} = \frac{8}{\sqrt{10}}$

問題では距離の二乗を求めているので、

$d^2 = (\frac{8}{\sqrt{10}})^2 = \frac{64}{10} = \frac{32}{5} = 6.4$

3. 最終的な答え

(1) 2.5

(2) 6.4