$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、原点を通る直線 $y = (\tan \theta)x$ に垂直で、点 $(1, -3)$ を通る直線の式を求めよ。

1. 問題の内容

$\theta = \frac{\pi}{3}$ のとき、原点を通る直線 $y = (\tan \theta)x$ に垂直で、点 $(1, -3)$ を通る直線の式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\tan \theta$ の値を求める。

$\theta = \frac{\pi}{3}$ より、 $\tan \theta = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ である。

したがって、原点を通る直線は $y = \sqrt{3}x$ である。

この直線に垂直な直線の傾きを $m$ とすると、$m \cdot \sqrt{3} = -1$ より、$m = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ となる。

求める直線は、傾きが $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ で、点 $(1, -3)$ を通る。

したがって、求める直線の式は、点傾き式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ を用いて、

$y - (-3) = -\frac{\sqrt{3}}{3}(x - 1)$

$y + 3 = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3}$

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3$

3. 最終的な答え

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}}{3} - 3$

または

$y = -\frac{\sqrt{3}}{3}x + \frac{\sqrt{3}-9}{3}$