右図において、$AB = 2\sqrt{3}$, $AD = 2\sqrt{2}$であるとする。 (1) 線分AC, BCの長さを求めよ。 (2) $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$の値を求めよ。

1. 問題の内容

右図において、$AB = 2\sqrt{3}$, $AD = 2\sqrt{2}$であるとする。

(1) 線分AC, BCの長さを求めよ。

(2) $\sin\theta, \cos\theta, \tan\theta$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$\triangle ADC$は直角二等辺三角形なので、$AC = AD = 2\sqrt{2}$である。

$DC = AD \cos 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2$

また、$AC = AD \sin 45^\circ = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 2$

$\triangle ABC$は直角三角形なので、$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{12 - 8} = \sqrt{4} = 2$

よって、$BC=2$。

(2)

$\triangle BDC$において、$BD = BC+CD$ で、$CD=2$である。

$\triangle ABC$において、$BC=2, AB=2\sqrt{3}, AC=2\sqrt{2}$である。

$BC=2$なので、$BD=BC+CD=2+2=4$。

$\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

$\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan \theta = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $AC = 2\sqrt{2}$, $BC = 2$

(2) $\sin\theta = \frac{\sqrt{6}}{3}$, $\cos\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}$, $\tan\theta = \sqrt{2}$