# 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と直線 $y = mx + 2$ の共有点の個数を求めよ。ただし、$m$ は定数とする。

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2. 解き方の手順

円の方程式を変形する。

$x^2 + y^2 + 4y = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y) = 0$

$x^2 + (y^2 + 4y + 4) = 4$

$x^2 + (y+2)^2 = 2^2$

これは、中心が $(0, -2)$, 半径が $2$ の円である。

円の中心 $(0, -2)$ と直線 $y = mx + 2$, つまり $mx - y + 2 = 0$ との距離 $d$ を求める。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(0) - (-2) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|0 + 2 + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}}$

$d = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

円と直線が接するとき、$d = 2$

円と直線が交わるとき、$d < 2$

円と直線が離れているとき、$d > 2$

共有点の個数は、$d = 2$ のとき $1$ 個、$d < 2$ のとき $2$ 個、$d > 2$ のとき $0$ 個となる。

$d = 2$ のとき

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

$4 = 2\sqrt{m^2 + 1}$

$2 = \sqrt{m^2 + 1}$

$4 = m^2 + 1$

$m^2 = 3$

$m = \pm\sqrt{3}$

$d < 2$ のとき

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$

$4 < 2\sqrt{m^2 + 1}$

$2 < \sqrt{m^2 + 1}$

$4 < m^2 + 1$

$m^2 > 3$

$m < -\sqrt{3}$ または $m > \sqrt{3}$

$d > 2$ のとき

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} > 2$

ただし、$d > 0$ である必要がある。

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$をみたす$m$以外の場合であるので、

$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$

よって、

$m = \pm\sqrt{3}$ のとき、共有点は $1$ 個

$m < -\sqrt{3}$ または $m > \sqrt{3}$ のとき、共有点は $2$ 個

$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$のとき、共有点は $0$ 個

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3. 最終的な答え

$m = \pm\sqrt{3}$ のとき、共有点は $1$ 個

$m < -\sqrt{3}$ または $m > \sqrt{3}$ のとき、共有点は $2$ 個

$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$のとき、共有点は $0$ 個