原点を中心として与えられた角度だけ曲線(1) $xy = -1$ と曲線(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ を回転させたときの、移動後の曲線の方程式を求める問題です。 (1) の回転角は $\frac{\pi}{4}$ で、(2) の回転角は $\frac{\pi}{6}$ です。

1. 問題の内容

原点を中心として与えられた角度だけ曲線(1) $xy = -1$ と曲線(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ を回転させたときの、移動後の曲線の方程式を求める問題です。

(1) の回転角は $\frac{\pi}{4}$ で、(2) の回転角は $\frac{\pi}{6}$ です。

2. 解き方の手順

(1) $xy = -1$ を $\frac{\pi}{4}$ 回転させる場合:

回転移動の変換式は次の通りです。

$x = x' \cos\theta - y' \sin\theta$

$y = x' \sin\theta + y' \cos\theta$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{4}$ なので、

$\cos\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\sin\frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

変換式は次のようになります。

$x = \frac{x' - y'}{\sqrt{2}}$

$y = \frac{x' + y'}{\sqrt{2}}$

これを与えられた方程式 $xy = -1$ に代入します。

$\frac{x' - y'}{\sqrt{2}} \cdot \frac{x' + y'}{\sqrt{2}} = -1$

$\frac{(x')^2 - (y')^2}{2} = -1$

$(x')^2 - (y')^2 = -2$

$(y')^2 - (x')^2 = 2$

よって、回転後の曲線の方程式は $y^2 - x^2 = 2$ です。

(2) $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ を $\frac{\pi}{6}$ 回転させる場合:

回転移動の変換式は次の通りです。

$x = x' \cos\theta - y' \sin\theta$

$y = x' \sin\theta + y' \cos\theta$

ここで、$\theta = \frac{\pi}{6}$ なので、

$\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$

変換式は次のようになります。

$x = \frac{\sqrt{3}x' - y'}{2}$

$y = \frac{x' + \sqrt{3}y'}{2}$

これを与えられた方程式 $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ に代入します。

$\frac{(\frac{\sqrt{3}x' - y'}{2})^2}{9} + \frac{(\frac{x' + \sqrt{3}y'}{2})^2}{4} = 1$

$\frac{(\sqrt{3}x' - y')^2}{36} + \frac{(x' + \sqrt{3}y')^2}{16} = 1$

$\frac{3(x')^2 - 2\sqrt{3}x'y' + (y')^2}{36} + \frac{(x')^2 + 2\sqrt{3}x'y' + 3(y')^2}{16} = 1$

$\frac{3(x')^2 - 2\sqrt{3}x'y' + (y')^2}{9} + \frac{(x')^2 + 2\sqrt{3}x'y' + 3(y')^2}{4} = 4$

$4(3(x')^2 - 2\sqrt{3}x'y' + (y')^2) + 9((x')^2 + 2\sqrt{3}x'y' + 3(y')^2) = 36$

$12(x')^2 - 8\sqrt{3}x'y' + 4(y')^2 + 9(x')^2 + 18\sqrt{3}x'y' + 27(y')^2 = 36$

$21(x')^2 + 10\sqrt{3}x'y' + 31(y')^2 = 36$

よって、回転後の曲線の方程式は $21x^2 + 10\sqrt{3}xy + 31y^2 = 36$ です。

3. 最終的な答え

(1) $y^2 - x^2 = 2$

(2) $21x^2 + 10\sqrt{3}xy + 31y^2 = 36$