三角形ABCにおいて、∠ACBは鈍角であり、BC>ACである。AB=6, BC=3√2, sin∠ACB=√14/4である。 (1) sin∠BACの値を求める。 (2) cos∠BACの値を求め、辺ACの長さを求める。 (3) 辺AB上に∠ACD=90°となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求め、△BCDの外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、∠ACBは鈍角であり、BC>ACである。AB=6, BC=3√2, sin∠ACB=√14/4である。

(1) sin∠BACの値を求める。

(2) cos∠BACの値を求め、辺ACの長さを求める。

(3) 辺AB上に∠ACD=90°となるような点Dをとる。このとき、線分CDの長さを求め、△BCDの外接円の中心をOとするとき、四角形OCDBの面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin∠ACB} = \frac{BC}{\sin∠BAC}$

$\frac{6}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin∠BAC}$

$\sin∠BAC = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{6 \cdot 4} = \frac{\sqrt{28}}{8} = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2)

$\cos^2∠BAC = 1 - \sin^2∠BAC = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

よって、$\cos∠BAC = \pm\frac{3}{4}$

∠ACBが鈍角なので、∠BACは鋭角。したがって、$\cos∠BAC = \frac{3}{4}$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos∠BAC$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2 \cdot 6 \cdot AC \cdot \frac{3}{4}$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3, 6$

BC > AC より、AC = 3

(3)

△ACDにおいて、∠ACD = 90°より、

$\cos∠BAC = \frac{AC}{AD}$

$\frac{3}{4} = \frac{3}{AD}$

$AD = 4$

$CD = \sqrt{AD^2 - AC^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7}$

△BCDの外接円の半径をRとする。

正弦定理より、

$\frac{BC}{\sin∠BDC} = 2R$

$\sin∠BDC = \sin(180° - ∠ADC) = \sin∠ADC = \frac{AC}{AD} = \frac{3}{4}$

$2R = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{3}{4}} = 4\sqrt{2}$

$R = 2\sqrt{2}$

外接円の中心Oから辺BCへ下ろした垂線の足をMとすると、BM=MC=3√2/2

OM = √(R^2 - (3√2/2)^2) = √(8 - 18/4) = √(14/4) = √14/2

四角形OCDBの面積は△OBC+△ODC。

△OBC = 1/2 * BC * OM = 1/2 * 3√2 * √14/2 = 3√28/4 = 3√7/2

OD = R = 2√2, CD = √7

∠ODC = ∠OCD

∠DOC = 180° - 2∠ODC

∠BCD = ∠BCA + ∠ACD = ∠BCA + 90°

∠BCA = 180° - ∠BAC - ∠ABC より、

$\cos∠ACB = -\sqrt{1 - (\frac{\sqrt{14}}{4})^2} = -\sqrt{1-\frac{14}{16}} = -\sqrt{\frac{2}{16}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

余弦定理より

$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cdot \cos∠ACB$

$36 = 9 + 18 - 2 \cdot 3 \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$

$36 = 27 + 9$

cos∠ACB = -√2/4

∠BAC = arcsin(√7/4) ≒ 41.4°

∠ACB ≒ 100.9°

∠ABC ≒ 37.7°

∠BDC = arcsin(3/4)

OC = OD = 外接円の半径 = 2√2

四角形OCDBの面積 = △OBC + △ODC

△OBC = 1/2 * BC * OM = (1/2) * 3√2 * √14/2 = (3/4) * 2√7 = 3√7/2

△ODC = 1/2 * OD * CD * sin∠ODC = (1/2) * 2√2 * √7 * sin∠ODC = √14 * sin∠ODC

3. 最終的な答え

(1) $\sin∠BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos∠BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \sqrt{7}$、四角形OCDBの面積 = $\frac{3\sqrt{7}}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2}$ = $2\sqrt{7}$