直角三角形ABCがあり、AB = 9cm, AC = 18cmである。点Pは点AからAB上を毎秒1cmでBまで進み、点Qは点CからCA上を毎秒2cmでAまで進む。三角形PQAの面積が14 $cm^2$になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、AB = 9cm, AC = 18cmである。点Pは点AからAB上を毎秒1cmでBまで進み、点Qは点CからCA上を毎秒2cmでAまで進む。三角形PQAの面積が14 $cm^2$になるのは、点Pが点Aを出発してから何秒後かを求める。

2. 解き方の手順

点Pが出発してから$t$秒後のAPの長さを考える。APの長さは$t$cmとなる。

同様に、点Qは点Cから出発して$t$秒後にCA上の点Qに到達する。したがって、AQの長さはAC - CQ = 18 - 2$t$となる。

三角形PQAの面積は$\frac{1}{2} \times AP \times AQ$で与えられる。

したがって、三角形PQAの面積は$\frac{1}{2} \times t \times (18 - 2t)$となる。

これが14 $cm^2$になるので、以下の式が成り立つ。

$\frac{1}{2}t(18 - 2t) = 14$

$t(18 - 2t) = 28$

$18t - 2t^2 = 28$

$2t^2 - 18t + 28 = 0$

$t^2 - 9t + 14 = 0$

$(t - 2)(t - 7) = 0$

よって、$t = 2$または$t = 7$となる。

点PはAB上を、点QはAC上を移動することから、それぞれの場合の取りうる$t$の範囲を考える。

点Pが点Aから点Bまで移動する時間は9秒である。また、点Qが点Cから点Aまで移動する時間は$\frac{18}{2}=9$秒である。

したがって、$0 < t < 9$を満たす必要がある。

$t = 2$と$t = 7$はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

2秒後と7秒後