$x^2 + y^2 + 4y = 0$ より $x^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0$ なので、$x^2 + (y + 2)^2 = 4$。 よって、円の中心は $(0, -2)$、半径は $2$ である。

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1. 問題の内容

問題182：円 $x^2 + y^2 + 4y = 0$ と直線 $y = mx + 2$ の共有点の個数を求めよ。ただし、$m$ は定数とする。

問題183：円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求めよ。

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2. 解き方の手順

### 問題182

1. 円の方程式を平方完成する。

$x^2 + y^2 + 4y = 0$ より $x^2 + (y + 2)^2 - 4 = 0$ なので、$x^2 + (y + 2)^2 = 4$。

よって、円の中心は $(0, -2)$、半径は $2$ である。

2. 円の中心と直線の距離 $d$ を求める。

直線の方程式 $y = mx + 2$ を $mx - y + 2 = 0$ と変形する。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m(0) - (-2) + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

3. 円と直線の共有点の個数を判別する。

* $d < r$ のとき、共有点は2個

* $d = r$ のとき、共有点は1個

* $d > r$ のとき、共有点は0個

この問題では、$r = 2$ なので、以下の場合分けを行う。

* $\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} < 2$ のとき、共有点は2個

$4 < 2\sqrt{m^2 + 1}$ より $2 < \sqrt{m^2 + 1}$。両辺を2乗して $4 < m^2 + 1$。よって、$m^2 > 3$ となり、$m < -\sqrt{3}$ または $m > \sqrt{3}$。

* $\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$ のとき、共有点は1個

$4 = 2\sqrt{m^2 + 1}$ より $2 = \sqrt{m^2 + 1}$。両辺を2乗して $4 = m^2 + 1$。よって、$m^2 = 3$ となり、$m = \pm\sqrt{3}$。

* $\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} > 2$ のとき、共有点は0個

$4 > 2\sqrt{m^2 + 1}$ より $2 > \sqrt{m^2 + 1}$。両辺を2乗して $4 > m^2 + 1$。よって、$m^2 < 3$ となり、$-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$。

### 問題183

1. 円の中心と直線の距離 $d$ を求める。

円の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{10}$ である。

直線の方程式 $x - 3y + m = 0$ より、

$d = \frac{|1(0) - 3(0) + m|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10}}$

2. 円と直線が接する条件 $d = r$ を適用する。

$\frac{|m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ より $|m| = 10$。よって、$m = \pm 10$。

3. 接点の座標を求める。

直線 $x - 3y + m = 0$ を $x = 3y - m$ と変形し、円の方程式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入する。

$(3y - m)^2 + y^2 = 10$ より $9y^2 - 6my + m^2 + y^2 = 10$。よって、$10y^2 - 6my + m^2 - 10 = 0$。

この2次方程式が重解を持つとき、判別式は0となる。

$D = (-6m)^2 - 4(10)(m^2 - 10) = 36m^2 - 40m^2 + 400 = -4m^2 + 400 = 0$

$m^2 = 100$ より $m = \pm 10$。

* $m = 10$ のとき、$10y^2 - 60y + 90 = 0$ より $y^2 - 6y + 9 = 0$。$(y - 3)^2 = 0$ より $y = 3$。

$x = 3y - m = 3(3) - 10 = -1$。よって、接点は $(-1, 3)$。

* $m = -10$ のとき、$10y^2 + 60y + 90 = 0$ より $y^2 + 6y + 9 = 0$。$(y + 3)^2 = 0$ より $y = -3$。

$x = 3y - m = 3(-3) - (-10) = 1$。よって、接点は $(1, -3)$。

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3. 最終的な答え

問題182：

* $m < -\sqrt{3}$ または $m > \sqrt{3}$ のとき、共有点は2個

* $m = \pm\sqrt{3}$ のとき、共有点は1個

* $-\sqrt{3} < m < \sqrt{3}$ のとき、共有点は0個

問題183：

* $m = 10$ のとき、接点は $(-1, 3)$

* $m = -10$ のとき、接点は $(1, -3)$