正方形ABCDがあり、辺AB上に点P、辺BC上に点Qを、AP = BQとなるようにとる。三角形PBQの面積が11 cm^2であるとき、線分APの長さを求める。ただし、正方形の一辺の長さは10 cmである。

1. 問題の内容

正方形ABCDがあり、辺AB上に点P、辺BC上に点Qを、AP = BQとなるようにとる。三角形PBQの面積が11 cm^2であるとき、線分APの長さを求める。ただし、正方形の一辺の長さは10 cmである。

2. 解き方の手順

AP = x とすると、PB = 10 - xとなる。

また、AP = BQなので、BQ = x となる。

三角形PBQの面積は、$1/2 \times PB \times BQ$で表される。

問題文より、三角形PBQの面積は11 $cm^2$なので、

$\frac{1}{2} \times (10-x) \times x = 11$

$(10-x)x = 22$

$10x - x^2 = 22$

$x^2 - 10x + 22 = 0$

この2次方程式を解の公式を用いて解く。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{(-10)^2 - 4 \times 1 \times 22}}{2 \times 1}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 88}}{2}$

$x = \frac{10 \pm \sqrt{12}}{2}$

$x = \frac{10 \pm 2\sqrt{3}}{2}$

$x = 5 \pm \sqrt{3}$

$x = AP$ なので、$0 < x < 10$ を満たす必要がある。

$5 + \sqrt{3} \approx 5 + 1.732 = 6.732 < 10$

$5 - \sqrt{3} \approx 5 - 1.732 = 3.268 > 0$

よって、$x = 5 \pm \sqrt{3}$ はどちらも条件を満たす。

3. 最終的な答え

$AP = 5 + \sqrt{3}$ cm または $AP = 5 - \sqrt{3}$ cm