$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ は鈍角で $BC > AC$、かつ $AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。 (1) $\sin \angle BAC$ の値を求める。 (2) $\cos \angle BAC$ の値を求め、辺 $AC$ の長さを求める。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となる点 $D$ をとるとき、線分 $CD$ の長さを求める。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

1. 問題の内容

$\triangle ABC$ において、$\angle ACB$ は鈍角で $BC > AC$、かつ $AB=6$, $BC=3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ である。

(1) $\sin \angle BAC$ の値を求める。

(2) $\cos \angle BAC$ の値を求め、辺 $AC$ の長さを求める。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^\circ$ となる点 $D$ をとるとき、線分 $CD$ の長さを求める。また、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$$

であるから、

$$\sin \angle BAC = \frac{BC \sin \angle ACB}{AB} = \frac{3\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{3\sqrt{28}}{24} = \frac{3 \cdot 2\sqrt{7}}{24} = \frac{\sqrt{7}}{4}$$

(2) $\cos^2 \angle ACB = 1 - \sin^2 \angle ACB = 1 - \frac{14}{16} = \frac{2}{16} = \frac{1}{8}$

$\angle ACB$ は鈍角なので、$\cos \angle ACB = -\frac{1}{2\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{4}$

余弦定理より、

$$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2AC \cdot BC \cos \angle ACB$$

$$36 = AC^2 + 18 - 2AC \cdot 3\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{4})$$

$$36 = AC^2 + 18 + 3AC$$

$$AC^2 + 3AC - 18 = 0$$

$$(AC + 6)(AC - 3) = 0$$

$AC > 0$ より、$AC = 3$

$\cos \angle BAC = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2AB \cdot AC} = \frac{36 + 9 - 18}{2 \cdot 6 \cdot 3} = \frac{27}{36} = \frac{3}{4}$

(3) $\angle ACD = 90^\circ$ より、$\triangle ACD$ は直角三角形。

$\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$ より、$CD = AC \sin \angle BAC = 3 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\angle ACD = 90^\circ$ なので、$AD = AC \cos \angle BAC = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$

$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{24-9}{4} = \frac{15}{4}$

$\triangle BCD$ の外接円の半径を $R$ とすると、

$$\frac{CD}{\sin \angle CBD} = 2R$$

$\angle CBD = \angle CBA$ であるから、

$\sin \angle CBA = \frac{AC \sin \angle BCA}{AB} = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}}{6} = \frac{\sqrt{14}}{8}$

$2R = \frac{\frac{3\sqrt{7}}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{8}} = \frac{3\sqrt{7} \cdot 8}{4 \cdot \sqrt{14}} = \frac{6\sqrt{7}}{\sqrt{14}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$

$R = \frac{3\sqrt{2}}{2}$

$\angle BOC = 2 \angle BDC$ であり、$\angle BDC = 180^\circ - \angle ADC = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$ である。

したがって、$\angle BOC = 2 \angle BAC$。

また、$\angle COD = 2 \angle CBD = 2 \angle CBA$。

四角形OCDBの面積 = $\triangle OBC + \triangle OCD = \frac{1}{2}OB \cdot OC \sin \angle BOC + \frac{1}{2}OC \cdot OD \sin \angle COD$

$= \frac{1}{2} R^2 (\sin \angle BOC + \sin \angle COD) = \frac{1}{2} (\frac{3\sqrt{2}}{2})^2 (\sin 2 \angle BAC + \sin 2 \angle CBA)$

$= \frac{9}{4} (\sin \angle BAC \cos \angle BAC + \sin \angle CBA \cos \angle CBA)$

$\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$ であるので $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

$\cos \angle CBA = \sqrt{1 - \frac{14}{64}} = \sqrt{\frac{50}{64}} = \frac{5\sqrt{2}}{8}$

$\frac{9}{4} (2 \sin \angle BAC \cos \angle BAC + 2 \sin \angle CBA \cos \angle CBA) = \frac{9}{4} (2 \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{3}{4} + 2 \frac{\sqrt{14}}{8} \cdot \frac{5\sqrt{2}}{8}) = \frac{9}{4} (\frac{3\sqrt{7}}{8} + \frac{5\sqrt{7}}{16}) = \frac{9}{4} \cdot \frac{11\sqrt{7}}{16} = \frac{99\sqrt{7}}{64}$

四角形 $OCDB$ の面積 $= \frac{1}{2}BC \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{7}}{4} = \frac{9\sqrt{14}}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3) $CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$, 四角形 $OCDB$ の面積 $= \frac{9\sqrt{14}}{8}$