三角形 $ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$, $\angle ACB$ は鈍角, $BC > AC$ である。 (1) $\sin \angle BAC$ を求める。 (2) $\cos \angle BAC$ を求め、辺 $AC$ の長さを求める。 (3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^{\circ}$ となる点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求め、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

1. 問題の内容

三角形 $ABC$ において、$AB = 6$, $BC = 3\sqrt{2}$, $\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$, $\angle ACB$ は鈍角, $BC > AC$ である。

(1) $\sin \angle BAC$ を求める。

(2) $\cos \angle BAC$ を求め、辺 $AC$ の長さを求める。

(3) 辺 $AB$ 上に $\angle ACD = 90^{\circ}$ となる点 $D$ をとる。このとき、線分 $CD$ の長さを求め、$\triangle BCD$ の外接円の中心を $O$ とするとき、四角形 $OCDB$ の面積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin \angle ACB} = \frac{BC}{\sin \angle BAC}$

$\frac{6}{\frac{\sqrt{14}}{4}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin \angle BAC}$

$\sin \angle BAC = \frac{3\sqrt{2}}{6} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4} = \frac{\sqrt{28}}{8} = \frac{2\sqrt{7}}{8} = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos^2 \angle BAC = 1 - \sin^2 \angle BAC = 1 - \frac{7}{16} = \frac{9}{16}$

$\cos \angle BAC = \pm \frac{3}{4}$

$BC > AC$ より $\angle BAC$ は鋭角なので $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$

余弦定理より、

$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \angle BAC$

$(3\sqrt{2})^2 = 6^2 + AC^2 - 2(6)(AC)(\frac{3}{4})$

$18 = 36 + AC^2 - 9AC$

$AC^2 - 9AC + 18 = 0$

$(AC - 3)(AC - 6) = 0$

$AC = 3$ または $AC = 6$

$BC > AC$ より、$3\sqrt{2} > AC$, $3\sqrt{2} \approx 4.24$ なので $AC = 3$

(3) $\angle ACD = 90^{\circ}$ なので、$\angle BCD = \angle ACB - 90^{\circ}$。$\triangle ADC$ は直角三角形なので

$AD = AC \cos \angle BAC = 3(\frac{3}{4}) = \frac{9}{4}$

$CD = AC \sin \angle BAC = 3(\frac{\sqrt{7}}{4}) = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

$\triangle BCD$ の外接円の半径 $R$ を求める。正弦定理より

$\frac{BD}{\sin \angle BCD} = 2R$

$BD = AB - AD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$

$\sin \angle ACB = \frac{\sqrt{14}}{4}$ なので、$\cos \angle ACB = - \sqrt{1 - (\frac{\sqrt{14}}{4})^2} = -\sqrt{1 - \frac{14}{16}} = -\sqrt{\frac{2}{16}} = - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin \angle BCD = \sin(\angle ACB - 90^{\circ}) = \sin \angle ACB \cos 90^{\circ} - \cos \angle ACB \sin 90^{\circ} = - \cos \angle ACB = \frac{\sqrt{2}}{4}$

$2R = \frac{\frac{15}{4}}{\frac{\sqrt{2}}{4}} = \frac{15}{\sqrt{2}} = \frac{15\sqrt{2}}{2}$

$R = \frac{15\sqrt{2}}{4}$

中心 $O$ から辺 $CD$ へ垂線を下ろし、$CD$ の中点を $M$ とする。

$CM = \frac{CD}{2} = \frac{3\sqrt{7}}{8}$

$\triangle OMC$ において

$OM = \sqrt{OC^2 - CM^2} = \sqrt{R^2 - (\frac{CD}{2})^2} = \sqrt{(\frac{15\sqrt{2}}{4})^2 - (\frac{3\sqrt{7}}{8})^2} = \sqrt{\frac{450}{16} - \frac{63}{64}} = \sqrt{\frac{1800 - 63}{64}} = \sqrt{\frac{1737}{64}} = \frac{\sqrt{1737}}{8}$

四角形 $OCDB$ は $\triangle OCD$ と $\triangle OBD$ に分割できる。$\angle OCD = 90^\circ$ なので、$\triangle OCD$ の面積は

$\frac{1}{2} CD \cdot OM$ である。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \angle BAC = \frac{\sqrt{7}}{4}$

(2) $\cos \angle BAC = \frac{3}{4}$, $AC = 3$

(3)

$CD = \frac{3\sqrt{7}}{4}$

四角形OCDBの面積を求めることができませんでした。