円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとし、直線 $y=a(x-4)$ を $l$ とする。 (1) Cと $l$ が共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。 (2) $l$ がCと2点で交わるとき、その2つの交点の中点をPとする。また、$l$ がCと接するとき、その接点をPとする。このとき、点Pは曲線 $\frac{(x-\text{オ})^2}{\text{カ}} + \frac{(y-\text{キ})^2}{\text{ク}} = 1$ 上にある。 (3) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、(2)で定めた点Pが描く曲線の長さを求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ をCとし、直線 $y=a(x-4)$ を $l$ とする。

(1) Cと $l$ が共有点をもつような $a$ の値の範囲を求める。

(2) $l$ がCと2点で交わるとき、その2つの交点の中点をPとする。また、$l$ がCと接するとき、その接点をPとする。このとき、点Pは曲線 $\frac{(x-\text{オ})^2}{\text{カ}} + \frac{(y-\text{キ})^2}{\text{ク}} = 1$ 上にある。

(3) $a$ が(1)で求めた範囲を動くとき、(2)で定めた点Pが描く曲線の長さを求める。

2. 解き方の手順

(1) 円Cの中心(0,0)と直線 $l: ax-y-4a=0$ の距離dが、円の半径2以下であればよい。

$d = \frac{|a(0)-0-4a|}{\sqrt{a^2+(-1)^2}} = \frac{|-4a|}{\sqrt{a^2+1}} = \frac{4|a|}{\sqrt{a^2+1}} \le 2$

両辺を2で割り、2乗すると、

$\frac{4a^2}{a^2+1} \le 1$

$4a^2 \le a^2 + 1$

$3a^2 \le 1$

$a^2 \le \frac{1}{3}$

$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

(2) Cと $l$ の交点をA, Bとし、P(X, Y)とする。

Aのx座標を $\alpha$, Bのx座標を $\beta$とする。$X = \frac{\alpha + \beta}{2}$となる。

$y = a(x-4)$を$x^2 + y^2 = 4$に代入して、$x^2 + (a(x-4))^2 = 4$

$x^2 + a^2(x^2 - 8x + 16) = 4$

$(1+a^2)x^2 - 8a^2x + 16a^2 - 4 = 0$

解と係数の関係より、$\alpha + \beta = \frac{8a^2}{1+a^2}$

$X = \frac{4a^2}{1+a^2}$

$Y = a(X-4) = a(\frac{4a^2}{1+a^2} - 4) = a\frac{4a^2 - 4 - 4a^2}{1+a^2} = \frac{-4a}{1+a^2}$

$X = \frac{4a^2}{1+a^2}$より、$X(1+a^2) = 4a^2$

$X = 4a^2 - Xa^2$

$X = a^2(4-X)$

$a^2 = \frac{X}{4-X}$

$Y = \frac{-4a}{1+a^2}$より、$-4a = Y(1+a^2) = Y + Ya^2$

$a = -\frac{Y}{4}(1+a^2)$

$a = -\frac{Y}{4}(1+\frac{X}{4-X}) = -\frac{Y}{4}\frac{4-X+X}{4-X} = -\frac{Y}{4-X}$

$a^2 = \frac{Y^2}{(4-X)^2}$

$\frac{X}{4-X} = \frac{Y^2}{(4-X)^2}$

$X(4-X) = Y^2$

$4X - X^2 = Y^2$

$X^2 - 4X + Y^2 = 0$

$(X-2)^2 + Y^2 = 4$

これは円であるが、題意より楕円の形にする必要がある。

$x^2 + y^2 = 4$のとき、この円の周上で $y = a(x-4)$ に接する時の接点をPとする。

$a = \frac{dy}{dx} = \frac{-x}{y}$

$y = \frac{-x}{y}(x-4)$

$y^2 = \frac{-x^2 + 4x}{1}$

$4 = x^2 + y^2 = x^2 - x^2 + 4x$

$4 = 4x$ より $x=1$

$y^2 = 3$ より $y = \pm\sqrt{3}$

$a = \frac{-x}{y} = \frac{-1}{\pm\sqrt{3}} = \mp\frac{1}{\sqrt{3}}$

したがって $-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$

$X = \frac{4a^2}{1+a^2}$なので、$-\frac{1}{\sqrt{3}} \le a \le \frac{1}{\sqrt{3}}$のとき、 $0 \le a^2 \le \frac{1}{3}$より

$0 \le X \le \frac{4(\frac{1}{3})}{1+\frac{1}{3}} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3}} = 1$

$(X-2)^2 + Y^2 = 4$より、$X=1$のとき $(1-2)^2 + Y^2 = 4 \Rightarrow Y^2 = 3 \Rightarrow Y = \pm \sqrt{3}$

$X=0$のとき $(-2)^2 + Y^2 = 4 \Rightarrow Y^2 = 0 \Rightarrow Y = 0$

したがって、$P$は曲線 $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$ (円) の一部。

(3) $X=0$から$X=1$までの円弧の長さを求める。

(2)で求めた円の中心は (2, 0) 、半径は 2。

$(x-2)^2+y^2=4$より、$x=0$のとき$y=0$、$x=1$のとき$y = \pm\sqrt{3}$

$\cos \theta = \frac{x-2}{2}$とおくと、

$x = 2+2\cos\theta$

$x=0$のとき、$2\cos\theta=-2$なので$\cos\theta=-1$となり、$\theta=\pi$

$x=1$のとき、$2\cos\theta=-1$なので$\cos\theta=-\frac{1}{2}$となり、$\theta=\frac{2\pi}{3}$

したがって、円弧の角度は$\pi - \frac{2\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

求める弧の長さは $2\times\frac{\pi}{3} \times 2 = \frac{4\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{\sqrt{3}}{3} \le a \le \frac{\sqrt{3}}{3}$

(2) $\frac{(x-2)^2}{4} + \frac{y^2}{4} = 1$

(3) $\frac{4\pi}{3}$