円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $y = mx - 3$ が異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求め、また、直線が円によって切り取られる弦の長さを求めます。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 - 2y = 0$ と直線 $y = mx - 3$ が異なる2点で交わるとき、定数 $m$ の値の範囲を求め、また、直線が円によって切り取られる弦の長さを求めます。

2. 解き方の手順

まず、円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + y^2 - 2y = 0$

$x^2 + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心が $(0, 1)$、半径が $1$ の円を表します。

次に、直線 $y = mx - 3$ と円が異なる2点で交わる条件を求めます。

円の中心 $(0, 1)$ と直線 $mx - y - 3 = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $r = 1$ より小さいことが条件です。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|m \cdot 0 - 1 - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}}$

したがって、$d < r$ より、

$\frac{4}{\sqrt{m^2 + 1}} < 1$

$4 < \sqrt{m^2 + 1}$

両辺を2乗して、

$16 < m^2 + 1$

$m^2 > 15$

よって、$m < -\sqrt{15}$ または $m > \sqrt{15}$

次に、弦の長さを求めます。

弦の中点をMとすると、Mは円の中心(0,1)から直線までの垂線上にある。その垂線の長さをdとすると、三平方の定理より、弦の長さの半分をlとすると、$l^2 + d^2 = r^2$である。

$l = \sqrt{r^2 - d^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{m^2 + 1 - 16}{m^2 + 1}} = \sqrt{\frac{m^2 - 15}{m^2 + 1}}$

弦の長さは$2l$なので、

$2l = 2\sqrt{\frac{m^2 - 15}{m^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$m < -\sqrt{15}$ または $m > \sqrt{15}$

弦の長さは、$2\sqrt{\frac{m^2 - 15}{m^2 + 1}}$