半径5cm、中心角90°のおうぎ形を、直線lを軸として1回転させたときにできる立体の表面積を求める問題です。円周率は$\pi$とします。

1. 問題の内容

半径5cm、中心角90°のおうぎ形を、直線lを軸として1回転させたときにできる立体の表面積を求める問題です。円周率は$\pi$とします。

2. 解き方の手順

おうぎ形を回転させると、半径5cmの半球と、底面の半径が5cm、高さが5cmの円錐の側面ができると考えられます。

まず、半球の表面積を求めます。半球の表面積は、半径$r$の球の表面積の半分である$2\pi r^2$で求められます。

次に、円錐の側面のおうぎ形の中心角を求めます。円錐の底面の円周は$2\pi r$で求められます。ここで、$r$は円錐の底面の半径であり、この場合は5cmです。

円錐の母線の長さは5cmであり、側面のおうぎ形の半径も5cmです。よって、円錐の側面のおうぎ形の面積は、$S = \pi r l$で計算できます。ここで、$r$は底面の半径、$l$は母線の長さです。

表面積は、半球の表面積と円錐の側面積を足し合わせることで求められます。

半球の表面積:

$2\pi r^2 = 2 \pi (5^2) = 2 \pi (25) = 50\pi$

円錐の側面積:

$S = \pi r l = \pi (5) (5) = 25\pi$

求める立体の表面積 = 半球の表面積 + 円錐の側面積

$50\pi + 25\pi = 75\pi$

3. 最終的な答え

$75\pi$ cm$^2$