(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5) に対して、ベクトル $\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ の成分と、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ を2辺とする平行四辺形の面積Sを求めよ。 (2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3) を通る平面の方程式を、行列式を用いて求めよ。

1. 問題の内容

(1) 3点P(1, 3, 3), Q(3, 3, 1), R(4, 2, 5) に対して、ベクトル $\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ の成分と、$\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ を2辺とする平行四辺形の面積Sを求めよ。

(2) 3点P(4, -3, 2), Q(7, -2, -1), R(6, -5, 3) を通る平面の方程式を、行列式を用いて求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ベクトル $\overrightarrow{PQ}$ と $\overrightarrow{PR}$ を求める。

$\overrightarrow{PQ} = \begin{pmatrix} 3-1 \\ 3-3 \\ 1-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$

$\overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} 4-1 \\ 2-3 \\ 5-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}$

次に、外積 $\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}$ を計算する。

$\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR} = \begin{pmatrix} (0)(2) - (-2)(-1) \\ (-2)(3) - (2)(2) \\ (2)(-1) - (0)(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 - 2 \\ -6 - 4 \\ -2 - 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ -2 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積Sは、外積の大きさ $||\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}||$ で与えられる。

$S = ||\overrightarrow{PQ} \times \overrightarrow{PR}|| = \sqrt{(-2)^2 + (-10)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 100 + 4} = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3}$

(2)

求める平面の方程式を $ax + by + cz + d = 0$ とおく。

3点P, Q, Rがこの平面上にあるので、

$4a - 3b + 2c + d = 0$

$7a - 2b - c + d = 0$

$6a - 5b + 3c + d = 0$

行列式を用いる方法として、平面上の任意の点(x, y, z)に対して、

$\begin{vmatrix} x - 4 & y + 3 & z - 2 \\ 7 - 4 & -2 + 3 & -1 - 2 \\ 6 - 4 & -5 + 3 & 3 - 2 \end{vmatrix} = 0$

$\begin{vmatrix} x - 4 & y + 3 & z - 2 \\ 3 & 1 & -3 \\ 2 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$

$(x-4)(1 - 6) - (y+3)(3 + 6) + (z-2)(-6 - 2) = 0$

$(x-4)(-5) - (y+3)(9) + (z-2)(-8) = 0$

$-5x + 20 - 9y - 27 - 8z + 16 = 0$

$-5x - 9y - 8z + 9 = 0$

$5x + 9y + 8z - 9 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 外積ベクトルの成分: $\begin{pmatrix} -2 \\ -10 \\ -2 \end{pmatrix}$

平行四辺形の面積S: $6\sqrt{3}$

(2) 平面の方程式: $5x + 9y + 8z - 9 = 0$