点 $A(2, -1, 0)$ で $xy$ 平面と接し、半径が $3$ の球面の式を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $A(2, -1, 0)$ で $xy$ 平面と接し、半径が $3$ の球面の式を求める問題です。

2. 解き方の手順

球面の方程式は、中心 $(a, b, c)$ 、半径 $r$ を用いて、次のように表されます。

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

球が $xy$ 平面と接するということは、$xy$ 平面（つまり $z = 0$）との距離が半径に等しいということです。また、接点が $A(2, -1, 0)$ であるので、球の中心の $x$ 座標と $y$ 座標はそれぞれ $2$ と $-1$ になります。つまり、球の中心は $(2, -1, c)$ と表せます。半径が $3$ なので、$|c| = 3$ となります。したがって、$c = 3$ または $c = -3$ となります。

よって、球の中心は $(2, -1, 3)$ または $(2, -1, -3)$ となり、半径は $3$ ですから、球面の方程式は

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 3^2$

または

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 3)^2 = 3^2$

すなわち、

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

または

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 3)^2 = 9$

3. 最終的な答え

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 3)^2 = 9$

または

$(x - 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 3)^2 = 9$