与えられた円の方程式 $x^2+y^2+x-3y=0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) この円の中心の座標と半径を求める。 (2) この円と中心が同じで、点(2,1)を通る円の方程式を求める。

1. 問題の内容

与えられた円の方程式 $x^2+y^2+x-3y=0$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) この円の中心の座標と半径を求める。

(2) この円と中心が同じで、点(2,1)を通る円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 円の方程式を標準形に変形します。

$x^2 + x + y^2 - 3y = 0$

平方完成を行います。

$(x + \frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 - (\frac{3}{2})^2 = 0$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4}$

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

したがって、中心の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ であり、半径は $\sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$ です。

(2) (1)で求めた円の中心 $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ を中心とし、点(2,1)を通る円の方程式を求めます。

円の半径を $r$ とすると、

$r^2 = (2 - (-\frac{1}{2}))^2 + (1 - \frac{3}{2})^2 = (2 + \frac{1}{2})^2 + (1 - \frac{3}{2})^2$

$r^2 = (\frac{5}{2})^2 + (-\frac{1}{2})^2 = \frac{25}{4} + \frac{1}{4} = \frac{26}{4} = \frac{13}{2}$

したがって、求める円の方程式は

$(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 中心: $(-\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ 、半径: $\frac{\sqrt{10}}{2}$

(2) $(x + \frac{1}{2})^2 + (y - \frac{3}{2})^2 = \frac{13}{2}$