3点 $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(0, 5)$ を頂点とする三角形ABCの外接円の中心（外心）の座標と外接円の半径を求める問題です。

1. 問題の内容

3点 $A(-2, 1)$, $B(1, 4)$, $C(0, 5)$ を頂点とする三角形ABCの外接円の中心（外心）の座標と外接円の半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

外心の座標を $(x, y)$ とします。外心は三角形の各頂点からの距離が等しいので、

$AP = BP = CP$ が成り立ちます。ここで、$AP$, $BP$, $CP$ はそれぞれ外心から各頂点までの距離を表します。

まず、$AP^2 = BP^2$ と $BP^2 = CP^2$ を用いて、$x$と$y$に関する連立方程式を立てます。

$AP^2 = (x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (x+2)^2 + (y-1)^2 = x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5$

$BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17$

$CP^2 = (x - 0)^2 + (y - 5)^2 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$AP^2 = BP^2$ より、

$x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5 = x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17$

$6x + 6y = 12$

$x + y = 2$　…(1)

$BP^2 = CP^2$ より、

$x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 = x^2 + y^2 - 10y + 25$

$-2x + 2y = 8$

$-x + y = 4$　…(2)

(1)と(2)の連立方程式を解きます。

(1) + (2)より、

$2y = 6$

$y = 3$

(1)に代入して、$x + 3 = 2$

$x = -1$

したがって、外心の座標は $(-1, 3)$ です。

次に、外接円の半径 $R$ を求めます。外心から各頂点までの距離は等しいので、$R = AP = BP = CP$ です。

$R^2 = AP^2 = (-1+2)^2 + (3-1)^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$

$R = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

外心の座標：$(-1, 3)$

外接円の半径：$\sqrt{5}$