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2点A(-1, 0), B(1, 0)に対して, $AP^2 + BP^2 = 10$ を満たす点P(x, y)の軌跡を求めよ。

幾何学軌跡円座標平面距離
2025/6/15

1. 問題の内容

2点A(-1, 0), B(1, 0)に対して, AP2+BP2=10AP^2 + BP^2 = 10 を満たす点P(x, y)の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、AP2AP^2とBP2BP^2をそれぞれ計算する。
点A(-1, 0)と点P(x, y)の距離の二乗は、
AP2=(x−(−1))2+(y−0)2=(x+1)2+y2AP^2 = (x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = (x+1)^2 + y^2
点B(1, 0)と点P(x, y)の距離の二乗は、
BP2=(x−1)2+(y−0)2=(x−1)2+y2BP^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x-1)^2 + y^2
与えられた条件AP2+BP2=10AP^2 + BP^2 = 10に代入する。
(x+1)2+y2+(x−1)2+y2=10(x+1)^2 + y^2 + (x-1)^2 + y^2 = 10
(x2+2x+1)+y2+(x2−2x+1)+y2=10(x^2 + 2x + 1) + y^2 + (x^2 - 2x + 1) + y^2 = 10
2x2+2y2+2=102x^2 + 2y^2 + 2 = 10
2x2+2y2=82x^2 + 2y^2 = 8
x2+y2=4x^2 + y^2 = 4
これは中心(0, 0), 半径2の円を表す。

3. 最終的な答え

x2+y2=4x^2 + y^2 = 4
中心(0, 0), 半径2の円

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