円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点 $P$ と点 $A(4, 6)$ との距離について、以下の問いに答えます。 (1) $AP$ の最大値と最小値を求めてください。 (2) $AP$ の距離が最小となるときの点 $P$ の座標を求めてください。

1. 問題の内容

円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ 上の点 $P$ と点 $A(4, 6)$ との距離について、以下の問いに答えます。

(1) $AP$ の最大値と最小値を求めてください。

(2) $AP$ の距離が最小となるときの点 $P$ の座標を求めてください。

2. 解き方の手順

(1) 円 $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ の中心を $C$ とすると、$C$ の座標は $(1, 2)$ であり、半径は $r = \sqrt{9} = 3$ です。

$A$ と $C$ の距離 $AC$ を計算します。

$AC = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$

円上の点 $P$ と $A$ の距離 $AP$ は、$P$ が $AC$ 上にあり、$C$ を挟んで $A$ と反対側にあるときに最大となり、 $P$ が $AC$ 上にあり、$A$ と $C$ の間にあるときに最小となります。

最大値は $AC + r = 5 + 3 = 8$

最小値は $AC - r = 5 - 3 = 2$

(2) $AP$ が最小となる点 $P$ は、線分 $AC$ 上にあります。

$C(1, 2)$ と $A(4, 6)$ を結ぶ線分を考えます。

$P$ は $AC$ を $3:2$ に内分する点です。

$P$ の座標を $(x, y)$ とすると、内分点の公式より、

$x = \frac{2 \cdot 1 + 3 \cdot 4}{3+2} = \frac{2+12}{5} = \frac{14}{5}$

$y = \frac{2 \cdot 2 + 3 \cdot 6}{3+2} = \frac{4+18}{5} = \frac{22}{5}$

したがって、$P$ の座標は $(\frac{14}{5}, \frac{22}{5})$ です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 8, 最小値: 2

(2) 点Pの座標: $(\frac{14}{5}, \frac{22}{5})$