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平坦な土地の上に4つの地点 A, B, C, D があります。A地点の真西に C 地点があり、A地点の北西側に B 地点があります。$\angle BAC = \angle ACB = 30^\circ$, $AB = 500m$です。また、A地点の南西側に D 地点があり、$\angle ADB = 60^\circ$, $\angle ABD = 45^\circ$です。このとき、$AC$, $AD$, $DC$ の長さを求める問題です。

幾何学正弦定理余弦定理三角比図形問題
2025/6/15

1. 問題の内容

平坦な土地の上に4つの地点 A, B, C, D があります。A地点の真西に C 地点があり、A地点の北西側に B 地点があります。∠BAC=∠ACB=30∘\angle BAC = \angle ACB = 30^\circ, AB=500mAB = 500mです。また、A地点の南西側に D 地点があり、∠ADB=60∘\angle ADB = 60^\circ, ∠ABD=45∘\angle ABD = 45^\circです。このとき、ACAC, ADAD, DCDC の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) △ABC\triangle ABC について
∠ABC=180∘−∠BAC−∠ACB=180∘−30∘−30∘=120∘\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 30^\circ - 30^\circ = 120^\circ.
正弦定理より、
ACsin⁡∠ABC=ABsin⁡∠ACB\frac{AC}{\sin \angle ABC} = \frac{AB}{\sin \angle ACB}.
AC=ABsin⁡∠ABCsin⁡∠ACB=500sin⁡120∘sin⁡30∘=500⋅3212=5003AC = \frac{AB \sin \angle ABC}{\sin \angle ACB} = \frac{500 \sin 120^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{500 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 500\sqrt{3}.
(2) △ABD\triangle ABD について
∠DAB=180∘−∠ADB−∠ABD=180∘−60∘−45∘=75∘\angle DAB = 180^\circ - \angle ADB - \angle ABD = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ.
正弦定理より、
ADsin⁡∠ABD=ABsin⁡∠ADB\frac{AD}{\sin \angle ABD} = \frac{AB}{\sin \angle ADB}.
AD=ABsin⁡∠ABDsin⁡∠ADB=500sin⁡45∘sin⁡60∘=500⋅2232=50023=50063AD = \frac{AB \sin \angle ABD}{\sin \angle ADB} = \frac{500 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ} = \frac{500 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{500\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{500\sqrt{6}}{3}.
(3) △ADC\triangle ADC について
∠CAD=45∘\angle CAD = 45^\circ (A地点の南西側にD地点があるので、直線ACからADが45°の角度を持つ)。
余弦定理より、
DC2=AD2+AC2−2⋅AD⋅ACcos⁡∠CADDC^2 = AD^2 + AC^2 - 2 \cdot AD \cdot AC \cos \angle CAD.
DC2=(50063)2+(5003)2−2⋅50063⋅5003cos⁡45∘DC^2 = (\frac{500\sqrt{6}}{3})^2 + (500\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \frac{500\sqrt{6}}{3} \cdot 500\sqrt{3} \cos 45^\circ.
DC2=5002⋅69+5002⋅3−2⋅5002183⋅22DC^2 = \frac{500^2 \cdot 6}{9} + 500^2 \cdot 3 - 2 \cdot \frac{500^2 \sqrt{18}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}.
DC2=5002⋅23+5002⋅3−5002⋅3223DC^2 = \frac{500^2 \cdot 2}{3} + 500^2 \cdot 3 - \frac{500^2 \cdot 3\sqrt{2} \sqrt{2}}{3}.
DC2=5002⋅23+5002⋅3−5002=5002(23+3−1)=5002(23+2)=5002⋅83DC^2 = \frac{500^2 \cdot 2}{3} + 500^2 \cdot 3 - 500^2 = 500^2 (\frac{2}{3} + 3 - 1) = 500^2 (\frac{2}{3} + 2) = 500^2 \cdot \frac{8}{3}.
DC=500⋅83=500⋅223=500⋅263=100063DC = 500 \cdot \sqrt{\frac{8}{3}} = 500 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = 500 \cdot \frac{2\sqrt{6}}{3} = \frac{1000\sqrt{6}}{3}.

3. 最終的な答え

AC=5003AC = 500\sqrt{3}.
AD=50063AD = \frac{500\sqrt{6}}{3}.
DC=100063DC = \frac{1000\sqrt{6}}{3}.

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