直線 $y = x - 2$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ によって切り取られてできる線分の長さを求める。

1. 問題の内容

直線 $y = x - 2$ が円 $x^2 + y^2 = 10$ によって切り取られてできる線分の長さを求める。

2. 解き方の手順

まず、直線と円の交点を求める。直線の式 $y = x - 2$ を円の式 $x^2 + y^2 = 10$ に代入する。

$x^2 + (x-2)^2 = 10$

$x^2 + x^2 - 4x + 4 = 10$

$2x^2 - 4x - 6 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

よって、$x = 3$ または $x = -1$。

$x = 3$ のとき、$y = 3 - 2 = 1$。交点は $(3, 1)$。

$x = -1$ のとき、$y = -1 - 2 = -3$。交点は $(-1, -3)$。

2つの交点間の距離を求める。

2点 $(x_1, y_1)$ と $(x_2, y_2)$ の間の距離は $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ で表される。

この問題では、交点が $(3, 1)$ と $(-1, -3)$ なので、線分の長さは

$\sqrt{(-1 - 3)^2 + (-3 - 1)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$4\sqrt{2}$