正五角形について、以下の2つの数を求めます。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 対角線の本数

1. 問題の内容

正五角形について、以下の2つの数を求めます。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 正五角形の頂点から3つを選ぶ組み合わせの数を求めます。これは組み合わせの公式 $_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を用いて計算できます。ここで、$n=5$ (頂点の数) であり、$r=3$ (選ぶ頂点の数) です。

三角形の個数は、

$_5C_3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{5 \times 4}{2} = 10$

(2) 対角線の本数を求めます。正五角形には5つの頂点があります。各頂点から他の頂点へ線を引くと5つの線が引けますが、そのうち隣り合う頂点への線は辺であり、対角線ではありません。各頂点から引ける対角線は $5 - 3 = 2$ 本です。頂点が5つあるので、 $5 \times 2 = 10$ となりますが、これは各対角線を2回ずつ数えていることになるので、2で割ります。

対角線の本数は、

$\frac{5 \times (5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$

3. 最終的な答え

(1) 三角形の個数：10個

(2) 対角線の本数：5本