四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。 (1) 線分OAを3:2に内分する点P($\vec{p}$) (2) 線分ABの中点Q($\vec{q}$) (3) 線分BCを3:1に外分する点R($\vec{r}$) (4) $\triangle$PQRの重心G($\vec{g}$)

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\overrightarrow{OA} = \vec{a}$、$\overrightarrow{OB} = \vec{b}$、$\overrightarrow{OC} = \vec{c}$とする。以下の点の位置ベクトルを$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$を用いて表す。

(1) 線分OAを3:2に内分する点P($\vec{p}$)

(2) 線分ABの中点Q($\vec{q}$)

(3) 線分BCを3:1に外分する点R($\vec{r}$)

(4) $\triangle$PQRの重心G($\vec{g}$)

2. 解き方の手順

(1) 線分OAを3:2に内分する点P($\vec{p}$)は、内分点の公式より、

$\vec{p} = \frac{2\vec{a} + 3\vec{0}}{3+2} = \frac{2\vec{a}}{5}$

(2) 線分ABの中点Q($\vec{q}$)は、中点の公式より、

$\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$

(3) 線分BCを3:1に外分する点R($\vec{r}$)は、外分点の公式より、

$\vec{r} = \frac{-\vec{b} + 3\vec{c}}{3-1} = \frac{-\vec{b} + 3\vec{c}}{2}$

(4) $\triangle$PQRの重心G($\vec{g}$)は、重心の公式より、

$\vec{g} = \frac{\vec{p} + \vec{q} + \vec{r}}{3} = \frac{\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{\vec{a}+\vec{b}}{2} + \frac{-\vec{b}+3\vec{c}}{2}}{3}$

$= \frac{\frac{2}{5}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3} = \frac{\frac{4+5}{10}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3}$

$= \frac{\frac{9}{10}\vec{a} + \frac{3}{2}\vec{c}}{3} = \frac{1}{3} (\frac{9}{10}\vec{a} + \frac{15}{10}\vec{c}) = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{5}{10}\vec{c} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{p} = \frac{2}{5}\vec{a}$

(2) $\vec{q} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$

(3) $\vec{r} = -\frac{1}{2}\vec{b} + \frac{3}{2}\vec{c}$

(4) $\vec{g} = \frac{3}{10}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c}$