点 (4, 2) から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2つの接線の接点を A, B とする。 (1) 2点 A, B の座標を求めよ。 (2) 直線 AB の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

点 (4, 2) から円 $x^2 + y^2 = 10$ に引いた2つの接線の接点を A, B とする。

(1) 2点 A, B の座標を求めよ。

(2) 直線 AB の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

点 (4, 2) を通る直線 $y=m(x-4)+2$ を円 $x^2+y^2=10$ に代入し、接線の傾きを求める。

$x^2+(m(x-4)+2)^2=10$

$x^2+(mx-4m+2)^2=10$

$x^2+m^2x^2-8m^2x+16m^2+4mx-16m+4=10$

$(1+m^2)x^2+(-8m^2+4m)x+16m^2-16m-6=0$

判別式 $D=0$ より

$D=(-8m^2+4m)^2-4(1+m^2)(16m^2-16m-6)$

$=64m^4-64m^3+16m^2-4(16m^2-16m-6+16m^4-16m^3-6m^2)$

$=64m^4-64m^3+16m^2-64m^4+64m^3+24m^2+64m+24$

$=-40m^2+64m+24=0$

$5m^2-8m-3=0$

$(5m+3)(m-1)=0$

$m=1, -\frac{3}{5}$

よって接線の方程式は

$y=x-2$ と $y=-\frac{3}{5}(x-4)+2$

$y=x-2$ を $x^2+y^2=10$ に代入すると $x^2+(x-2)^2=10$

$x^2+x^2-4x+4=10$

$2x^2-4x-6=0$

$x^2-2x-3=0$

$(x-3)(x+1)=0$

$x=3,-1$

$x=3$ のとき $y=1$

$x=-1$ のとき $y=-3$

$y=-\frac{3}{5}(x-4)+2$を$x^2+y^2=10$ に代入すると $y=-\frac{3}{5}x+\frac{22}{5}$

$x^2+(-\frac{3}{5}x+\frac{22}{5})^2=10$

$x^2+\frac{9}{25}x^2-\frac{132}{25}x+\frac{484}{25}=10$

$25x^2+9x^2-132x+484=250$

$34x^2-132x+234=0$

$17x^2-66x+117=0$

$(x-3)(17x-39)=0$

$x=3, \frac{39}{17}$

$x=3$のとき$y=-\frac{3}{5}(3-4)+2 = \frac{13}{5} \neq 1$

$17x^2-66x+117=0$ で $x=3$が解になるのはおかしい。

$y=-\frac{3}{5}(x-4)+2 = -\frac{3}{5}x+\frac{22}{5}$

$x^2+y^2=x^2+(-\frac{3}{5}x+\frac{22}{5})^2 = x^2+\frac{9}{25}x^2-\frac{132}{25}x+\frac{484}{25}=10$

$34x^2-132x+484-250=0 \implies 34x^2-132x+234=0$

$17x^2-66x+117=0$

$(17x-39)(x-3)=0$

$x=3, \frac{39}{17}$

$x=\frac{39}{17}, y = -\frac{3}{5}(\frac{39}{17}-4)+2=-\frac{3}{5}(\frac{39-68}{17})+2 = \frac{3}{5}\frac{29}{17}+2 = \frac{87+170}{85}=\frac{257}{85}$

よって, (3,1) and (-1,-3) が接点である。

しかし、画像の回答では (3, -1) と (1, 3) となっている。

画像の手順を追う。

点 (4, 2) を通る直線を $y=kx+l$ とすると、点 (4, 2) を通るので $2=4k+l$, つまり $l=2-4k$.

$y=kx+2-4k$. これを $x^2+y^2=10$ に代入すると

$x^2+(kx+2-4k)^2=10$

$x^2+k^2x^2+4-16k+16k^2+4kx-8k^2x-8kx=10$

$(1+k^2)x^2+(4k-8k^2-8k)x+16k^2-16k-6=0$

$(1+k^2)x^2+(-4k-8k^2)x+16k^2-16k-6=0$

$D=(-4k-8k^2)^2-4(1+k^2)(16k^2-16k-6)$

$=16k^2+64k^3+64k^4-4(16k^2-16k-6+16k^4-16k^3-6k^2)$

$=16k^2+64k^3+64k^4-64k^2+64k+24-64k^4+64k^3+24k^2=0$

$128k^3-24k^2+64k+24=0$

$16k^3-3k^2+8k+3=0$

画像にあるように中心(0,0)と接線$ax+by+c=0$ の距離が半径に等しいことから

$\frac{|4x+2y|}{\sqrt{4^2+2^2}} = \sqrt{10}$

円上の点(a, b)と(4, 2)を結ぶ直線が円の接線と直交するので

$\frac{2-b}{4-a}=-\frac{a}{b} \implies (2-b)b=-a(4-a)$

$2b-b^2=-4a+a^2 \implies a^2+b^2=4a+2b \implies 10=4a+2b$

$2a+b=5 \implies b=5-2a$ を$x^2+y^2=10$ に代入

$x^2+(5-2x)^2=10$

$x^2+25-20x+4x^2=10$

$5x^2-20x+15=0$

$x^2-4x+3=0$

$(x-3)(x-1)=0 \implies x=1, 3$

$x=1$のとき$y=5-2x=5-2=3$

$x=3$のとき$y=5-2x=5-6=-1$

よって (1,3), (3, -1).

(2)

2点 (1, 3), (3, -1) を通る直線の方程式は

$\frac{y-3}{x-1}=\frac{-1-3}{3-1}=-2$

$y-3=-2(x-1)$

$y-3=-2x+2$

$y=-2x+5$

$2x+y=5$

3. 最終的な答え

(1) A(1, 3), B(3, -1)

(2) 2x + y = 5