$xy$平面上に、点$(4, 3)$を中心とする半径1の円と直線$y = mx$が共有点を持つとき、定数$m$のとりうる最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面上に、点$(4, 3)$を中心とする半径1の円と直線$y = mx$が共有点を持つとき、定数$m$のとりうる最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

円と直線が共有点を持つ条件は、円の中心と直線の距離が円の半径以下であることです。

円の中心$(4, 3)$と直線$y = mx$、つまり$mx - y = 0$との距離$d$は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|m(4) - 3|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}}$$

円と直線が共有点を持つためには、$d \le 1$である必要があるので、

$$\frac{|4m - 3|}{\sqrt{m^2 + 1}} \le 1$$

両辺を2乗して、

$$\frac{(4m - 3)^2}{m^2 + 1} \le 1$$

$$(4m - 3)^2 \le m^2 + 1$$

$$16m^2 - 24m + 9 \le m^2 + 1$$

$$15m^2 - 24m + 8 \le 0$$

この2次不等式を解きます。まず、$15m^2 - 24m + 8 = 0$の解を求めます。解の公式より、

$$m = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4(15)(8)}}{2(15)} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 480}}{30} = \frac{24 \pm \sqrt{96}}{30} = \frac{24 \pm 4\sqrt{6}}{30} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{15}$$

よって、$15m^2 - 24m + 8 \le 0$の解は、

$$\frac{12 - 2\sqrt{6}}{15} \le m \le \frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$$

したがって、$m$の最大値は$\frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$です。

3. 最終的な答え

$\frac{12 + 2\sqrt{6}}{15}$