2つの円、円① $x^2 + y^2 = 4$ と円② $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ が与えられています。 (1) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。 (2) 2つの円の交点と原点を通る円の方程式を求めます。

1. 問題の内容

2つの円、円① $x^2 + y^2 = 4$ と円② $x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0$ が与えられています。

(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式を求めます。

(2) 2つの円の交点と原点を通る円の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、2つの円の方程式の差を取ることで求めることができます。

円② - 円①より

$(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4) - (x^2 + y^2) = 0$

$-4x - 2y + 4 = 0$

これを整理すると、直線の方程式が得られます。

(2) 2つの円の交点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 + k(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4) = 0$ と表すことができます。

この円が原点を通るので、$x = 0, y = 0$ を代入します。

$0^2 + 0^2 - 4 + k(0^2 + 0^2 - 4(0) - 2(0) + 4) = 0$

$-4 + 4k = 0$

$4k = 4$

$k = 1$

これを円の方程式に代入して整理します。

3. 最終的な答え

(1) 2つの円の交点を通る直線の方程式は、$2x + y - 2 = 0$ です。

(2) 2つの円の交点と原点を通る円の方程式は、$x^2 + y^2 - 4 + (x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4) = 0$

$2x^2 + 2y^2 - 4x - 2y = 0$

$x^2 + y^2 - 2x - y = 0$

です。