中心角が90°の扇形ABCがある。弧ABを5等分する点をD, Eとし、それぞれからACに垂線を下ろす。斜線部分の面積が扇形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

1. 問題の内容

中心角が90°の扇形ABCがある。弧ABを5等分する点をD, Eとし、それぞれからACに垂線を下ろす。斜線部分の面積が扇形ABCの面積の何倍になるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

扇形ABCの半径を $r$ とします。扇形ABCの面積は、

$S_{扇形} = \frac{1}{4} \pi r^2$

となります。

次に、斜線部分の面積を求めます。点EからACに下ろした垂線の足をFとすると、斜線部分は長方形BCFEと扇形EBFに分割できます。弧ABを5等分しているので、角EBCは90°/5 = 18°です。

三角形EBCにおいて、

$BC = r$

$EF = BE \sin(18^\circ)$

$CF = BE \cos(18^\circ)$

$BE = r$なので、

$EF = r \sin(18^\circ)$

$CF = r \cos(18^\circ)$

長方形BCFEの面積は、

$S_{長方形} = BC \cdot CF = r \cdot r \cos(18^\circ) = r^2 \cos(18^\circ)$

扇形EBFの面積は、

$S_{扇形EBF} = \frac{18^\circ}{360^\circ} \pi r^2 = \frac{1}{20} \pi r^2$

斜線部分の面積は、

$S_{斜線} = S_{長方形} - S_{扇形EBF}$

問題文より、弧を５等分していることから、角EBC = 90/5 = 18度。三角形EFCは直角三角形なので、sin(18)を求める。

$\sin(18) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

$\cos(18) = \frac{\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{4}$

斜線部分の面積は

$S_{斜線} = BC \times CE = r(1- \cos (72)) = r BE sin 18 = r*r* sin 18$

$\frac{CE}{BE} = sin 18 = r^2 sin 18$

$S_{斜線} = r \times r sin18$

$sin 18 = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$

扇形ABCの面積は $S_{扇形} = \frac{1}{4}\pi r^2$

求める割合は

$\frac{r^2 sin 18}{\frac{1}{4} \pi r^2} = \frac{4 sin 18}{\pi} = \frac{4 (\sqrt{5}-1)}{4\pi} = \frac{\sqrt{5}-1}{\pi} \approx \frac{2.236 -1}{3.14} = \frac{1.236}{3.14} \approx 0.394$

ここで角度に着目すると、弧ABは5等分されているので、角EBA = 18度。よって∠EBC = 90 - 18 = 72度。

EからBCへの垂線の足をHとすると、

斜線部分の面積 = 四角形EFBC = BC * BH

BH = BE * sin(18) = r sin(18)

斜線部分の面積 = r * r sin(18)

全体の面積 = (1/4)πr^2

斜線部の割合 = (r^2 sin(18)) / ((1/4)πr^2) = 4 sin(18) / π = 4 sin(π/10) / π

BEは半径rなので，斜線部の長方形の高さは，r*cos(72°)。

したがって斜線部の面積は，r^2*cos(72°)。

cos(72°) = (√5 - 1) / 4　

求める割合は r^2*(√5 - 1) / 4 / ((1/4)πr^2) = (√5 - 1) / π = 0.39379169

答えに近いものを選択する必要がある。

3. 最終的な答え

問題文に「斜線部の面積は扇形ABCの面積の何倍か」とあるので、割合を求める。

$S_{斜線}/S_{扇形} = \frac{r^2 cos(72^\circ)}{\frac{1}{4}\pi r^2} = \frac{4cos(72^\circ)}{\pi} = \frac{4 (\sqrt{5}-1)/4}{\pi} = \frac{\sqrt{5}-1}{\pi} \approx \frac{1.236}{\pi} \approx 0.39379 \approx 0.4$

最も近いのは2/5 = 0.4倍

5. 2/5 倍